c++ - 计算 3x3 对称矩阵谱分解的快速方法

Question

我正在从事一个项目，我基本上在 20-100 个点的集合上执行 PCA 数百万次。目前，我们正在使用一些遗留代码，这些代码使用 GNU 的 GSL 线性代数包在协方差矩阵上执行 SVD。这有效，但速度很慢。

我想知道是否有任何简单的方法可以对 3x3 对称矩阵进行特征分解，这样我就可以将其放在 GPU 上并让它并行运行。

由于矩阵本身很小，我不确定使用哪种算法，因为它们似乎是为大型矩阵或数据集设计的。也可以选择对数据集进行直接 SVD，但我不确定什么是最佳选择。

我不得不承认，我在线性代数方面并不出色，尤其是在考虑算法优势时。任何帮助将不胜感激。

(我现在在用 C++ 工作)

Answer 1

使用特征多项式可行，但它在数值上往往有些不稳定(或者至少不准确)。

计算对称矩阵的特征系统的标准算法是 QR 方法。对于 3x3 矩阵，通过从旋转构建正交变换并将它们表示为四元数，可以实现非常巧妙的实现。假设您有一个 3x3 矩阵和一个四元数类，可以在 C++ 中找到这个想法的(相当短!)实现 here .该算法应该非常适合 GPU 实现，因为它是迭代的(因此是 self 校正的)，可以合理地利用可用的快速低维 vector 数学原语，并且使用相当少的 vector 寄存器(因此它允许更多的事件线程)。