swift - 点到椭圆的距离

Question

我需要以某种方式计算点和椭圆之间的距离。我在我的程序中将椭圆描述为坐标 x = a cos phi 和 y = b sin phi(其中 a、b 是常数，phi 是变化的角度)。

我想计算点 P 和我的椭圆之间的最短距离。我的想法是从我的椭圆中心和点 P 计算向量，然后找到从中心开始并沿点 P 的方向到达椭圆末端的向量，最后减去两个向量得到距离(这可能不会给出最短距离，但它仍然可以满足我的需要。问题是我不知道如何计算第二个向量。有人有更好的想法或者可以告诉我如何找到第二个向量吗？

提前致谢!

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编辑 1:

问题:计算出的角度似乎没有给出椭圆上的正确点

按照MARTIN R的建议，我得到了这个结果:

白色部分是由他如何计算距离的程序创建的。我使用从(椭圆的)中心 P 到 body 中心的矢量计算角度 phi。但是当我使用椭圆方程中的角度来获得应该留在椭圆上但也具有与第一个计算向量相同方向的点(如果我们将该点视为向量)时，它实际上给出了所示的“延迟”向量以上。

可能是什么问题？我无法真正理解这种行为(它可能与 atan2 有什么关系吗？？)

编辑 2:我还展示了在椭圆的另一半中它给出了这个结果:

所以我们可以看到，唯一可行的情况是我们有 phi = -+pi/2 和 phi = -+pi

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执行失败

我尝试使用 MARTIN R 的实现，但我仍然出错。

起初我认为它可能是中心(并不总是相同的)并且我以这种方式更改了实现:

func pointOnEllipse(ellipse: Ellipse, p: CGPoint) -> CGPoint {

    let maxIterations = 10
    let eps = CGFloat(0.1/max(ellipse.a, ellipse.b))

    // Intersection of straight line from origin to p with ellipse
    // as the first approximation:
    var phi = atan2(ellipse.a*p.y, ellipse.b*p.x)

    // Newton iteration to find solution of
    // f(θ) := (a^2 − b^2) cos(phi) sin(phi) − x a sin(phi) + y b cos(phi) = 0:
    for _ in 0..<maxIterations {
        // function value and derivative at phi:
        let (c, s) = (cos(phi), sin(phi))
        let f = (ellipse.a*ellipse.a - ellipse.b*ellipse.b)*c*s - p.x*ellipse.a*s + p.y*ellipse.b*c - ellipse.center.x*ellipse.a*s + ellipse.center.y*ellipse.b*c
        //for the second derivative
        let f1 = (ellipse.a*ellipse.a - ellipse.b*ellipse.b)*(c*c - s*s) - p.x*ellipse.a*c - p.y*ellipse.b*s - ellipse.center.x*ellipse.a*c - ellipse.center.y*ellipse.b*s

        let delta = f/f1
        phi = phi - delta
        if abs(delta) < eps { break }
    }

  return CGPoint(x: (ellipse.a * cos(phi)) + ellipse.center.x, y: (ellipse.b * sin(phi)) + ellipse.center.y)

}

我们可以看到这里发生了什么:

这很奇怪，所有的点都在那个“象限”内。但我也注意到，当我将绿色框移离椭圆很远时，它似乎获得了正确的距离矢量。

它会是什么？

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最终结果

使用 MARTIN R 的更新版本(3 次迭代)

Answer 1

x = a cos(phi), y = b sin (phi) 是一个椭圆，中心位于您问题中描述的起源和方法可以这样实现:

// Point on ellipse in the direction of `p`:
let phi = atan2(a*p.y, b*p.x)
let p2 = CGPoint(x: a * cos(phi), y: b * sin(phi))

// Vector from `p2` to `p`:
let v = CGVector(dx: p.x - p2.x, dy: p.y - p2.y)

// Length of `v`:
let distance = hypot(v.dx, v.dy)

你是对的，这并没有给出最短距离的点到椭圆。那将需要解决第四度多项式方程，参见示例 distance from given point to given ellipse或者 Calculating Distance of a Point from an Ellipse Border .

这是算法的一个可能实现在 http://wwwf.imperial.ac.uk/~rn/distance2ellipse.pdf 中描述:

// From http://wwwf.imperial.ac.uk/~rn/distance2ellipse.pdf .

func pointOnEllipse(center: CGPoint, a: CGFloat, b: CGFloat, closestTo p: CGPoint) -> CGPoint {

    let maxIterations = 10
    let eps = CGFloat(0.1/max(a, b))

    let p1 = CGPoint(x: p.x - center.x, y: p.y - center.y)

    // Intersection of straight line from origin to p with ellipse
    // as the first approximation:
    var phi = atan2(a * p1.y, b * p1.x)

    // Newton iteration to find solution of
    // f(θ) := (a^2 − b^2) cos(phi) sin(phi) − x a sin(phi) + y b cos(phi) = 0:
    for i in 0..<maxIterations {
        // function value and derivative at phi:
        let (c, s) = (cos(phi), sin(phi))
        let f = (a*a - b*b)*c*s - p1.x*a*s + p1.y*b*c
        let f1 = (a*a - b*b)*(c*c - s*s) - p1.x*a*c - p1.y*b*s

        let delta = f/f1
        phi = phi - delta
        print(i)
        if abs(delta) < eps { break }
    }

    return CGPoint(x: center.x + a * cos(phi), y: center.y + b * sin(phi))
}

您可能需要调整最大迭代次数和 epsilon根据您的需要，但这些值(value)观对我很有效。对于椭圆外的点，最多需要 3 次迭代找到解决方案的良好近似值。

使用它你可以计算距离

let p2 = pointOnEllipse(a: a, b: b, closestTo: p)
let v = CGVector(dx: p.x - p2.x, dy: p.y - p2.y)
let distance = hypot(v.dx, v.dy)