php - 使用 bcmath 的快速任意精度对数

Question

这是我得到的

function bcln($n, $scale=10) {
    $iscale = $scale+3;
    $result = '0.0';
    $i = 0;

    do {
        $pow = (1 + (2 * $i++));
        $mul = bcdiv('1', $pow, $iscale);
        $fraction = bcmul($mul, bcpow(bcsub($n, '1', $iscale) / bcadd($n, '1.0', $iscale), $pow, $iscale), $iscale);
        $lastResult = $result;
        $result = bcadd($fraction, $result, $iscale);
    } while($result !== $lastResult);

    return bcmul('2', $result, $scale);
}

但这需要 5.7 秒来运行 bcln(100)(100 的自然对数，小数点后 10 位)。此外，对于更多的小数位，它并不总是准确的。有没有更好的算法？

对于该特定运行，需要 573 次迭代才能确定结果。

Answer 1

您需要一个任意长度的字符串作为答案吗？还是您需要任意 精度或任意 指数大小？或者…… double float 答案(返回值)就足够了吗？考虑到我们“仅”使用多个“任意”大小的对数？

double float 有一个 11 位有符号指数:因此，如果您的大数字字符串的长度≤1022 位≈307 个十进制数字(因此字符串长度为 306 个字符，包括小数点)，您是安全的!更准确地说，如果所得十进制指数的绝对值≤307，则应该是安全的。你需要比这更大的指数吗？ (我想换句话说:你是在处理现实世界的数字还是理论/纯数学？)

为什么不只使用一些字符串处理以及一些简单的浮点对数运算呢？这应该非常快，对于任何真实世界的数字......

function bclog10($n){
    //←Might need to implement some validation logic here!
    $pos=strpos($n,'.');
    if($pos===false){
        $dec_frac='.'.substr($n,0,15);$pos=strlen($n);
    }else{  $dec_frac='.'.substr(substr($n,0,$pos).substr($n,$pos+1),0,15);
    }
    return log10((float)$dec_frac)+(float)$pos;
}

您可以使用一些众所周知的对数算法转换基数:

function bclogn($n,$base=M_E){//$base should be float: default is e
    return bclog10($n)*log(10)/log($base);
}

我已经测试了这些函数，它们对我有用，对于我提供的示例；给出与 Windows 10 计算器完全相同的答案，达到 PHP 使用的 double 算术的限制。

如果您实际上需要超过 15 位的精度和超过 307 位的十进制指数，您可以实现您自己的“BigFloat”类对象，并以某种方式从标准的内置浮点构建它的方法-点函数使用分而治之的方法!然后，也许我们可以将其与上述功能/技术相结合，以此作为任意精度浮点对数算法的基础。您可能需要考虑咨询 math.stackexchange.com 的人员。 , 以进一步了解这是否是一种可行的方法。

主要编辑:第二次尝试......

function bclog10($n){//By Matthew Slyman @aaabit.com
    $m=array();// ↓ Validation, matching/processing regex…
    preg_match('/^(-)?0*([1-9][0-9]*)?(\.(0*))?([1-9][0-9]*)?([Ee](-)?0*([1-9][0-9]*))?$/',$n,$m);
    if(!isset($m[1])){throw new \Exception('Argument: not decimal number string!');}
    $sgn=$m[1];if($sgn==='-'){throw new \Exception('Cannot compute: log(<⁺0)!');}
    $abs=$m[2];$pos=strlen($abs);
    if(isset($m[4])){$fre=$m[4];}else{$fre='';}$neg=strlen($fre);
    if(isset($m[5])){$frc=$m[5];}else{$frc='';}
    if(isset($m[7])){$esgn=$m[7]==='-'?-1:1;}else{$esgn=1;}
    if(isset($m[8])){$eexp=$m[8];}else{$eexp=0;}
    if($pos===0){
        $dec_frac='.'.substr($frc,0,15);$pos=-1*$neg;
    }else{  $dec_frac='.'.substr($abs.$fre.$frc,0,15);
    }
    return log10((float)$dec_frac)+(float)$pos+($esgn*$eexp);
}