swift - split 法算法

Question

(x^3 - 2x^2 - 5) 是我的等式。首先我有两个值，例如 x = 2 和 x = 4。 我的第一个方程式必须计算两个值，并且它们的结果每次都必须是负数和正数。第二步是 (2 + 4)/2 = 3 这次 x = 3 在等式中。并且数学运算以最后一个正值和一个负值继续。我试试这个

var x = 2.0
var equation = pow(x, 3) - 2 * pow(x, 2) - 5

switch x {
case x : 2
equation = pow(x, 3) - 2 * pow(x, 2) - 5
case x : 4
equation = pow(x, 3) - 2 * pow(x, 2) - 5
default:
0
}  
print(equation)

如何为一个 var x 分配前两个值，如 2 和 4？

Answer 1

显然你想实现 bisection method找到方程的(实)解(“根”)。第一步是将该方程定义为一个函数，以便可以在不同的点对其进行计算:

func f(_ x: Double) -> Double {
    return pow(x, 3) - 2 * pow(x, 2) - 5
}

那么就需要当前区间的左右边界两个变量。必须选择这些使得 f(x) 在边界处具有相反的符号。在你的例子中:

var xleft = 2.0   // f(xleft) < 0
var xright = 4.0  // f(xright) > 0

现在可以开始迭代了:在当前区间的中点处计算f(x)，并替换xright的xleft，取决于 f(x) 是负数还是正数。继续直到近似值足以满足您的目的:

let eps = 0.0000001 // Desired precision
let leftSign = f(xleft).sign

repeat {
    let x = (xleft + xright)/2.0
    let y = f(x)
    if y == 0 {
        xleft = x
        break
    } else if y.sign == leftSign {
        xleft = x
    } else {
        xright = x
    }
    // print(xleft, xright)
} while xright - xleft > eps

// Print approximate solution:
print(xleft)

---

下一步是将二分法本身实现为一个函数:

func bisect(_ f: ((Double) -> Double), xleft: Double, xright: Double, eps: Double = 1.0e-6) -> Double {
    let yleft = f(xleft)
    let yright = f(xright)

    precondition(yleft * yright <= 0, "f must have opposite sign at the boundaries")

    var xleft = xleft
    var xright = xright

    repeat {
        let x = (xleft + xright)/2.0
        let y = f(x)
        if y == 0 {
            return x
        } else if y.sign == yleft.sign {
            xleft = x
        } else {
            xright = x
        }
    } while xright - xleft > eps

    return (xleft + xright)/2.0
}

因此它可以与任意方程一起使用:

let sol1 = bisect({ x in pow(x, 3) - 2 * pow(x, 2) - 5 }, xleft: 2.0, xright: 4.0)
print(sol1) // 2.690647602081299

let sol2 = bisect({ x in cos(x/2)}, xleft: 3.0, xright: 4.0, eps: 1.0e-15)
print(sol2) // 3.1415926535897936