c++ - Armadillo 的 solve(A, b) 从 Matlab、Eigen 返回不同的答案

Question

我使用 Armadillo 5.200 和 Visual Studio 2013 求解线性方程组 xA=b。我的代码通过求解 x=(A'\b')' 来计算这个，我正在使用 Armadillo 的 solve() 函数来求解线性方程组。

我的问题是返回给我的解决方案不正确——它不同于 Eigen 和 Matlab 针对同一问题的解决方案，它们是匹配的。我首先不只是使用 Eigen 的原因是它执行得太慢(我必须进行数百万次计算)而且我想看看使用 Armadillo 是否可以加快它的速度。在这一点上，我也很好奇为什么会发生此错误。

下面是一段说明问题的示例代码:

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <armadillo>
#include <Eigen/Dense>


// Matrix operation to find world coordinates.  
arma::mat mrdivide(arma::mat A, arma::mat B){
    arma::mat A_t = A.t();
    arma::mat B_t = B.t();  
    return solve(A_t, B_t).t();

}
Eigen::MatrixXd mrdivide(Eigen::MatrixXd A, Eigen::MatrixXd B){
    Eigen::MatrixXd A_t = A.transpose();
    Eigen::MatrixXd B_t = B.transpose();    
    return ((A_t).colPivHouseholderQr().solve(B_t)).transpose();

}
int main(int argc, char* argv[])
{

    Eigen::Matrix<double, 4, 3>  M_eig;
    M_eig << 761.544, 0, 0,
             0, 761.544, 0,
             639.5, 399.5, 1.0,
             3.762513283904080e+06, 1.824431013104484e+06, 9.837714402800992e+03;
    arma::mat M_arma;
    M_arma << M_eig(0, 0) << M_eig(0, 1) << M_eig(0, 2) << arma::endr
        << M_eig(1, 0) << M_eig(1, 1) << M_eig(1, 2) << arma::endr
        << M_eig(2, 0) << M_eig(2, 1) << M_eig(2, 2) << arma::endr
        << M_eig(3, 0) << M_eig(3, 1) << M_eig(3, 2) << arma::endr;

    Eigen::Matrix<double, 1, 3> pixelCoords_eig;
    pixelCoords_eig << 457, 520, 1;
    arma::mat pixelCoords_arma;
    pixelCoords_arma << 457 << 520 << 1 << arma::endr;

    Eigen::Matrix<double, 1, 4> worldCoords_eig;
    arma::mat worldCoords_arma;

    worldCoords_arma = mrdivide(M_arma, pixelCoords_arma);
    worldCoords_eig = mrdivide(M_eig, pixelCoords_eig);
    std::cout << "world coords arma: " << worldCoords_arma << std::endl;
    std::cout << "world coords eig: " << worldCoords_eig << std::endl;   

}

我的输出是:

world coords arma: 5.3599e-002  4.242e-001  1.3120e-001  8.8313e-005
world coors eig: .0978826  .439301  0   0.00010165

这里的 Eigen 解是正确的(Matlab 给我的，并且对我正在执行的计算具有逻辑意义)。为什么 Armadillo 会给我错误的解决方案？

Answer 1

Armadillo 的解是正确的，因为你解的是超定系统。
因此，通过不同的方法得到的解决方案可能会有所不同。下面的代码演示了如何使用 Armadilio 库，得到类似 Matlab 的结果。为简单起见，我没有完全实现算法，也没有检查参数函数的正确性，因此交换行是人为的(并不是真正必要的)。

# include <iostream>
# include <armadillo>
# include <algorithm>
# include <array>

arma::mat qr_solve2(const arma::mat &A,const arma::mat &B);

arma::mat mrdivide(arma::mat A, arma::mat B)
    {
    return solve(A.t(), B.t());
    }
int main()
    {
    std::array<double,12> arr = {
        761.544 , 0 ,639.5,
        3.762513283904080e+06,0 , 761.544,
        399.5,1.824431013104484e+06,0,
        0, 1.0, 9.837714402800992e+03
        };
    arma::mat A(4,3);
    std::copy(arr.begin(),arr.end(),A.begin());
    arma::mat B;
    B << 457 << 520 << 1 << arma::endr;
    arma::mat V = mrdivide(A,B);
    std::cout<<V<<std::endl;
    std::cout<<A.t()*V<<std::endl;
    arma::mat Z = qr_solve2(A.t(),B.t());
    std::cout<<Z<<std::endl;
    std::cout<<A.t()*Z<<std::endl;
    return 0;
    }
arma::mat qr_solve2(const arma::mat &A,const arma::mat &B)
    {
    arma::mat Q, R;
    arma::qr(Q,R,A);
    unsigned int s = R.n_rows-1;
    arma::mat R_ = R( arma::span(0,s), arma::span(0,s-1) ) ;

    R_ = arma::join_horiz(R_,R.col(s+1));
    arma::mat newB = Q.t()*B;
    arma::mat X(s+1,1);

    for (int i = s; i >= 0; i--)
        {
        X[i] = newB[i];
        for (int j = s; j != i; j--)
            X[i] = X[i] - R_(i,j) * X[j];
        X[i] = X[i]/R_(i,i);
        }

    arma::mat res = X( arma::span(0,s-1), arma::span(0,0) ) ;

    res =  arma::join_vert(res,arma::mat(1,1, arma::fill::zeros));
    res = arma::join_vert(res,X.row(s));
    return res;
    }

与往常一样，在编译时指示大小矩阵可以减少内存分配的成本，因此可以使用它来加速计算。