c++ - 具有 MPFR 的不同精度的次正规数

Question

我想模拟各种 n 位二进制浮点格式，每个格式都有指定的 e_max 和 e_min，p 位精度。我希望这些格式能够模拟次正规数，忠实于 IEEE-754 标准。

自然地，我的搜索将我带到了 MPFR 库，它符合 IEEE-754 标准并且能够通过 mpfr_subnormalize() 函数支持次正规。但是，我在使用 mpfr_set_emin() 和 mpfr_set_emax() 正确设置次正规环境时遇到了一些困惑。我将使用 IEEE double 作为示例格式，因为这是 MPFR 手册中使用的示例:

http://mpfr.loria.fr/mpfr-current/mpfr.html#index-mpfr_005fsubnormalize

mpfr_set_default_prec (53);
mpfr_set_emin (-1073); mpfr_set_emax (1024);

以上代码来自上述链接中的 MPFR 手册 - 请注意，e_max 和 e_min 都不等于 double 的预期值>。此处，p 设置为 53，正如 double 类型所预期的那样，但 e_max 设置为 1024，而不是正确的值 1023 , e_min 设置为 -1073；远低于 -1022 的正确值。我知道将指数边界设置得太紧会导致 MPFR 中间计算中的上溢/下溢，但我发现准确设置 e_min 对于确保正确的次正规数至关重要；太高或太低会导致次正规 MPFR 结果(使用 mprf_subnormalize() 更新)与相应的 double 结果不同。

我的问题是应该如何决定将哪些值传递给 mpfr_set_emax() 和(尤其是)mpfr_set_emin()，以保证 float 的正确次正规行为具有指数界限 e_max 和 e_min 的点格式？似乎没有关于此事的任何详细文档或讨论。

非常感谢，

詹姆斯。

编辑 2016 年 7 月 30 日:这是一个小程序，演示了为单精度数选择 e_max 和 e_min。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <float.h>
#include <mpfr.h>

using namespace std;

int main (int argc, char *argv[]) {
    cout.precision(120);

    // IEEE-754 float emin and emax values don't work at all
    //mpfr_set_emin (-126);
    //mpfr_set_emax (127);

    // Not quite
    //mpfr_set_emin (-147);
    //mpfr_set_emax (128);

    // Not quite
    //mpfr_set_emin (-149);
    //mpfr_set_emax (128);

    // These float emin and emax values work in subnormal range
    mpfr_set_emin (-148);
    mpfr_set_emax (128);

    cout << "emin: " << mpfr_get_emin() << "    emax: " << mpfr_get_emax() << endl;

    float f = FLT_MIN;
    for (int i = 0; i < 3; i++) f = nextafterf(f, INFINITY);

    mpfr_t m;
    mpfr_init2 (m, 24);
    mpfr_set_flt (m, f, MPFR_RNDN);

    for (int i = 0; i < 6; i++) {
        f = nextafterf(f, 0);
        mpfr_nextbelow(m);
        cout << i << ": float: " << f << endl;
        //cout << i << ":  mpfr: " << mpfr_get_flt (m, MPFR_RNDN) << endl;
        mpfr_subnormalize (m, 1, MPFR_RNDN);
        cout << i << ":  mpfr: " << mpfr_get_flt (m, MPFR_RNDN) << endl;
    }

    mpfr_clear (m);
    return 0;
}

Answer 1

我正在复制我在 ResearchGate 上给出的答案(带有指向 mpfr_subnormalize 文档的链接):

有不同的约定来表示有效数字和相关指数。 IEEE 754 选择考虑 1 和 2 之间的有效数，而 MPFR(与 C 语言一样，例如参见 DBL_MAX_EXP)选择考虑 1/2 和 1 之间的有效数(出于与多精度相关的实际原因) .例如，数字 17 在 IEEE 754 中表示为 1.0001·2⁴，在 MPFR 中表示为 0.10001·2⁵。如您所见，这意味着与 IEEE 754 相比，MPFR 中的指数增加了 1，因此对于 double ，e_max = 1024 而不是 1023。

关于选择 double 的 e_min，需要能够表示 2⁻¹⁰⁷⁴ = 0.1·2⁻¹⁰⁷³ , 因此 e_min 需要最多为 −1073(与 MPFR 中一样，所有数字均已归一化)。

如文档所述，mpfr_subnormalize函数认为次正规指数范围是从 e_min 到 e_min + PREC(x) − 1，因此例如，您需要设置 e_min = −1073 模拟 IEEE double 。