c++ - 使用主成分分析和 CGAL 进行点云对齐

Question

我在 3D 对象的表面上有一组随机采样点。我希望能够计算两个不同对象之间的相似度。为了做到这一点，我首先必须确保我要比较的两个对象的样本点确实具有相同的旋转和比例。我想我可以通过将主成分轴沿 x/y/z 轴定向并缩放以使最长的主成分确实具有单位长度来做到这一点。

我首先计算点集的质心，然后平移所有点，使原点成为新的质心。

我使用 CGAL linear_least_squares_fitting_3 函数进行主成分分析，它给出了通过点的最佳拟合平面。我通过计算两个基 vector 的叉积来计算这个平面的法线:

Plane plane;
linear_least_squares_fitting_3(points.begin(), points.end(), 
    plane, CGAL::Dimension_tag<0>());

auto dir1 = dir2vec(plane.base1().direction());
auto dir2 = dir2vec(plane.base2().direction());
auto normal = dir1 ^ dir2; // cross product
normal.normalize(); dir1.normalize(); dir2.normalize();

dir2vec函数转换 CGAL::Direction_3反对等效的osg::Vec3d对象(我正在使用 OpenSceneGraph 图形引擎)。最后，我使用以下代码将所有内容旋转到单位轴:

Matrixd r1, r2, r3;
r1.makeRotate(normal, Vec3d(1,0,0));
r2.makeRotate(dir1 * r1, Vec3d(0,1,0));
r3.makeRotate(dir2 * r1 * r2, Vec3d(0,0,1));
auto rotate = [&](Vec3d const &p) {
    return p * r1 * r2 * r3;
};
transform(osgPoints.begin(), osgPoints.end(), osgPoints.begin(), rotate);

在这里，osgPoints是一个 vector<osg::Vec3d> .出于测试目的，我将旋转点的质心平移回原始位置，因此两个点云不会重叠。

Vec3d center = point2vec(centroid);
auto tocentroid = [&](Vec3d const &v) {
    return v + center;
};
transform(osgPoints.begin(), osgPoints.end(), osgPoints.begin(), tocentroid);

为了测试它，我使用了相同点集的两个拷贝，但是其中一个被转换(旋转和平移)。上面的代码应该撤消旋转，但是结果不是我所期望的:参见 this image .红线表示最佳拟合平面的基本 vector 及其法线。看起来是两次调用 linear_least_squares_fitting_3 的结果给出略有不同的答案，因为其中一个平面相对于另一个平面旋转了一点。

Here is another图像，其中两个对象的质心位于原点。现在可以清楚地看到法线和基本 vector 落在一起，但点没有。

有谁知道为什么会发生这种情况，我该如何预防？

Answer 1

将一个平面拟合到一组点会留下一个不受约束的自由度。该平面可以围绕其法线自由旋转并且拟合相等。我对 CGAL 一无所知，但我不会惊讶地发现他们在寻找拟合时只是找到了一个方便的平面(可能是距离原始空间轴最近的投影)。

如果您在点云上进行了真正的 PCA，我认为您不会遇到这个问题。或者，也许您可​​以沿着拟合算法发现的法线重新缩放(拉伸(stretch))您的数据，然后找到另一个拟合。如果您充分扩展数据，那么找到的第一个平面应该不如某些正交平面那么适合。