c++ - 除法表达式的数值稳定性

Question

我偶然发现了这样的代码

double x,y = ...;
double n = sqrt(x*x+y*y);
if (n > 0)
{
   double d1 = (x*x)/n;
   double d2 = (x*y)/n;
}

我想知道这样一个表达式对于 x 和 y 的小值的数值稳定性。

对于这两个表达式，lim (x->0, y->0) (...) = 0，所以从数学的角度来看，它看起来是安全的(提名人 O( x²) 而分母是 O(x))。

尽管如此，我的问题是:这段代码是否存在任何可能的数值问题？

编辑:如果可能的话，我想避免重写表达式，因为 n 实际上被使用了两次以上并保持可读性(在上下文中发生的事情相对清楚)。

Answer 1

如果x 和y 非常接近DBL_MIN，则计算是易受下溢或精度极度损失的影响:如果 x 是非常接近 DBL_MIN，例如 x * x 可能是 0.0，或者(对于稍大的值)它可能会导致所谓的逐渐下溢，精度极度下降:例如和IEEE 双(大多数，如果不是全部台式机和笔记本电脑)，1E-300
* 1E-300 将是 0.0。显然，如果两者都发生这种情况* x 和 y，你最终会得到 n == 0.0，即使 x 和y 都是正数。

在C++11中，有一个函数hypot，可以解决n 的问题；但是，如果 x * x 为 0.0，d1 仍将为 0.0；你可能会得到更好的结果 (x/n) * x(但我认为在某些情况下你可能会以 0.0 或逐渐下溢结束——我没有对其进行充分分析以确保)。更好的解决方案将以不同的方式缩放数据，以避免这种限制个案。