java - 如何对多项式执行复杂的变量更改(在 Mathematica 中)

Question

我有一个包含四个变量(w、x、y 和 z)的整数多项式，我知道它可以写成包含这六个变量的整数多项式:

• a = wz
• b = x y
• c = w^3 + z^3
• d = x + y
• e = w^3 x + y z^3
• f = w^3 y + x z^3

我如何使用 Mathematica(或者 Java)轻松地进行这种变量更改？

Answer 1

这种重写可以通过形成替换多项式的 Groebner 基础来完成，相对于有利于使用 a-f 而不是 w-z 的可变顺序。然后针对相同的顺序使用 PolynomialReduce 来重写您的多项式。

这是一个例子。我将从替换规则开始，这样我就可以构造一个多项式，以便我们知道预期的结果。

reprules = {a -> w*z, b -> x*y, c -> (w^3 + z^3), 
 d -> (x + y), e -> (w^3*x + y*z^3), f -> (w^3*y + x*z^3)};

现在改写为多项式关系。

reppolys = Apply[Subtract, reprules, 1];

这里我们创建一个例子。

poly = 
 a^2*b + 3*b^2*c^3 - 2*d*e*f + 11*b*f^2 - 5 a*d^2*e /. reprules // Expand

Out[11]= -2*w^6*x^2*y - 2*w^6*x*y^2 + 3*w^9*x^2*y^2 + 11*w^6*x*y^3 - 
  5*w^4*x^3*z - 10*w^4*x^2*y*z - 5*w^4*x*y^2*z + w^2*x*y*z^2 - 2*w^3*x^3*z^3 - 
  2*w^3*x^2*y*z^3 - 2*w^3*x*y^2*z^3 + 22*w^3*x^2*y^2*z^3 + 9*w^6*x^2*y^2*z^3 - 
  2*w^3*y^3*z^3 - 5*w*x^2*y*z^4 - 10*w*x*y^2*z^4 - 5*w*y^3*z^4 -
  2*x^2*y*z^6 + 11*x^3*y*z^6 - 2*x*y^2*z^6 + 9*w^3*x^2*y^2*z^6 + 3*x^2*y^2*z^9

形成上述Groebner基。

gb = GroebnerBasis[reppolys, {w, x, y, z, a, b, c, d, e, f}];

用它来减少我们的输入以恢复预期的结果。

PolynomialReduce[poly, 
  gb, {w, x, y, z, a, b, c, d, e, f}][[2]]

Out[12]= a^2*b + 3*b^2*c^3 - 5*a*d^2*e - 2*d*e*f + 11*b*f^2

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一条评论询问关于 Groebner 碱基的描述。对于我自己对 Mathematica 功能的理解，有一篇陈旧的 TMJ 文章。可以在

http://library.wolfram.com/infocenter/Articles/2179/

在与该主题相关的较好书籍中，有 UTM 系列文本

Cox、Lottle 和 O'Shea 的理想、多样性和算法。

Adams 和 Loustaunau (AMS) 对 Gröbner Bases 的介绍也很不错。

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丹尼尔·利希布劳