python - Sympy 二阶颂歌

Question

我有一个简单的二阶 ODE 的齐次解，当我尝试使用 Sympy 求解初始值时，它返回相同的解。它应该替代 y(0) 和 y'(0) 并产生没有常量的解，但事实并非如此。这是设置方程的代码(这是一个 Spring 平衡方程，k = Spring 常数，m = 质量)。抱歉，我在其他地方使用了一些多余的符号。

%matplotlib inline
from sympy import *
m,k, x,t,s,T, omega,A,B = symbols('m k x t s T omega A B',float=True)
a = symbols('a', positive=True)
f,y,g,H,delta,S=symbols('f y g H delta S',cls=Function)
Eq1 = Eq(m*diff(y(t),t,2)+k*y(t))
Eq1

结果是(正确):$y{\left (t\right )} = C_{1} e^{- t\sqrt{-\frac{k}{m}}} + C_{2} e^{t\sqrt{-\frac {k}{m}}}$

y(t)=C1e^(−t√(−k/m))+C2e^(t√(−km)), 也有 y_n = c1.cos(√(−k/m)t )+c2.sin(√(−k/m)t).

当解析求解该方程，并使用 omega = sqrt(-k/m) 转换为使用正弦和余弦的解时，则 c1 = y(0) 和 c2 = y'(0)/omega。因此，虽然解决方案部分涉及复数，但 dsolve 当然会像上面那样简单地返回原始齐次方程。我在 y(0) 和 y'(0) 处评估 ODE 的代码是:

Eq1_soln_IVP =dsolve(Eq1,y(t),x0=0, ics={y(0): a, y(t).diff(t).subs(t, 0): a})

我明白 dsolve 可能无法分析地处理这个 IVP，但如果这是基于它的其他能力，我会感到惊讶。对于如何解决此问题以及其他解析二阶问题的任何帮助，我们将不胜感激。问题的核心在于:

ics={y(0): a, y(t).diff(t).subs(t, 0): a}

所以我尝试过的解决方案是:

 #Create IVP for y(0)
 expr = Eq(Eq1_soln_IVP.rhs.subs(sqrt(-k/m),I*omega),y(0))
 #Create IVP for y'(0)
 expr2 = Eq(diff(y(t),t).subs(t,0),expr.lhs.diff(t))
 #Maps all free variables and solves for each where t = 0.
 solve([expr.subs(t,0),expr2.subs(t,0)])

虽然它是“一个”解决方案，但这似乎是一种寻找 y(t) = y(0)cos(omega*t - phi) 的非常复杂的方法...它回答了有关此求解器某些局限性的隐含问题以及关于 ics arg 如何解决的直接问题。谢谢。

Answer 1

dsolve() 中的参数 ics 实际上不起作用 ( Issue 4720 )，因此您必须手动进行替换。你可以试试:

from IPython.display import display
import sympy as sy

sy.init_printing()  # LaTeX-like pretty printing for IPython

t = sy.Symbol("t", real=True)
m, k = sy.symbols('m k', real=True)  # gives C_1 Exp() + C_2 Exp() solution
# m, k = sy.symbols('m k', positive=True)  # gives C_1 sin() + C_2 cos() sol.
a0, b0 = sy.symbols('a0, b0', real=True)
y = sy.Function('y')

Eq1 = sy.Eq(m*sy.diff(y(t), t, 2) + k*y(t))
print("ODE:")
display(Eq1)

print("Generic solution:")
y_sl0 = sy.dsolve(Eq1, y(t)).rhs  # take only right hand side
display(sy.Eq(y(t), y_sl0))

# Initial conditions:
cnd0 = sy.Eq(y_sl0.subs(t, 0), a0)  # y(0) = a0
cnd1 = sy.Eq(y_sl0.diff(t).subs(t, 0), b0)  # y'(0) = b0

#  Solve for C1, C2:
C1, C2 = sy.symbols("C1, C2")  # generic constants
C1C2_sl = sy.solve([cnd0, cnd1], (C1, C2))

# Substitute back into solution:
y_sl1 = sy.simplify(y_sl0.subs(C1C2_sl))
print("Solution with initial conditions:")
display(sy.Eq(y(t), y_sl1))