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当我计算具有 N
行和 n
列的矩阵 X
的三阶矩时,我通常使用 einsum
:
M3 = sp.einsum('ij,ik,il->jkl',X,X,X) /N
这通常工作正常,但现在我使用更大的值,即 n = 120
和 N = 100000
,并且 einsum
返回以下错误:
ValueError: iterator is too large
做 3 个嵌套循环的替代方案是不可行的,所以我想知道是否有任何替代方案。
最佳答案
请注意,计算它至少需要执行 ~n3 × N = 1730 亿次操作(不考虑对称性),因此它会很慢,除非 numpy 可以访问 GPU 或其他东西。在配备 ~3 GHz CPU 的现代计算机上,假设没有 SIMD/并行加速,整个计算预计需要大约 60 秒才能完成。
为了测试,让我们从 N = 1000 开始。我们将使用它来检查正确性和性能:
#!/usr/bin/env python3
import numpy
import time
numpy.random.seed(0)
n = 120
N = 1000
X = numpy.random.random((N, n))
start_time = time.time()
M3 = numpy.einsum('ij,ik,il->jkl', X, X, X)
end_time = time.time()
print('check:', M3[2,4,6], '= 125.401852515?')
print('check:', M3[4,2,6], '= 125.401852515?')
print('check:', M3[6,4,2], '= 125.401852515?')
print('check:', numpy.sum(M3), '= 218028826.631?')
print('total time =', end_time - start_time)
这大约需要 8 秒。这是基线。
让我们从 3 个嵌套循环开始:
M3 = numpy.zeros((n, n, n))
for j in range(n):
for k in range(n):
for l in range(n):
M3[j,k,l] = numpy.sum(X[:,j] * X[:,k] * X[:,l])
# ~27 seconds
这大约需要半分钟,不好!一个原因是因为这实际上是四个嵌套循环:numpy.sum
也可以认为是一个循环。
我们注意到可以将总和转换为点积以移除第 4 个循环:
M3 = numpy.zeros((n, n, n))
for j in range(n):
for k in range(n):
for l in range(n):
M3[j,k,l] = X[:,j] * X[:,k] @ X[:,l]
# 14 seconds
现在好多了,但仍然很慢。但是我们注意到点积可以变成矩阵乘法以去除一个循环:
M3 = numpy.zeros((n, n, n))
for j in range(n):
for k in range(n):
M3[j,k] = X[:,j] * X[:,k] @ X
# ~0.5 seconds
嗯?现在这比 einsum
还要高效!我们还可以检查答案是否确实正确。
我们可以更进一步吗?是的!我们可以通过以下方式消除 k
循环:
M3 = numpy.zeros((n, n, n))
for j in range(n):
Y = numpy.repeat(X[:,j], n).reshape((N, n))
M3[j] = (Y * X).T @ X
# ~0.3 seconds
我们还可以使用广播(即 a * [b,c] == [a*b, a*c]
用于 X 的每一行)来避免执行 numpy。重复
(感谢@Divakar):
M3 = numpy.zeros((n, n, n))
for j in range(n):
Y = X[:,j].reshape((N, 1))
## or, equivalently:
# Y = X[:, numpy.newaxis, j]
M3[j] = (Y * X).T @ X
# ~0.16 seconds
如果我们将其缩放到 N = 100000,则程序预计需要 16 秒,这在理论限制内,因此消除 j
可能不会有太大帮助(但这可能会使代码真的很难理解)。我们可以接受这作为最终解决方案。
注意:如果您使用的是 Python 2,a @b
等同于 a.dot(b)
。
关于python - numpy einsum 的替代品,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/38397399/
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