java - 在不损失精度的情况下转换 float 的基数

Question

术语

在这个问题中，我将“ float ”称为“十进制数”，以防止与 float/double Java 基本数据类型产生歧义。术语“十进制”与“以 10 为底”没有任何关系。

背景

我用这种方式表示任何基数的十进制数:

class Decimal{
    int[] digits;
    int exponent;
    int base;
    int signum;
}

它大致表达了这个double值:

public double toDouble(){
    if(signum == 0) return 0d;
    double out = 0d;
    for(int i = digits.length - 1, j = 0; i >= 0; i--, j++){
        out += digits[i] * Math.pow(base, j + exponent);
    }
    return out * signum;
}

我知道有些转换是不可能的。例如，无法将 0.1 (base 3) 转换为 base 10，因为它是循环小数。类似地，将 0.1 (base 9) 转换为 base 3 是不可能的，但是转换 0.3 (base 3) 是可能的。可能还有其他我没有考虑过的情况。

传统方式

对于整数，从 10 进制到 2 进制的传统换底方式是将数字除以 2 的指数，从 2 到 10 是将数字乘以相应的数字2 的指数。从基数 x 更改为基数 y 通常涉及转换为基数 10 作为中间值。

第一个问题:参数验证

因此，我的第一个问题是，如果我要实现 public Decimal Decimal.changeBase(int newBase) 方法，我如何验证 newBase 是否可以生成而不会导致循环小数(这与 int[] digits 字段的设计不兼容，因为我不打算为此制作一个 int recurringOffset 字段。

第二个问题:实现

那么，如何实现呢？我本能地觉得，如果第一个问题解决了，这个问题就更容易解决了。

第三个问题:循环数字输出怎么样:

I don't plan to make an int recurringOffset field just for this.

为了 future 的读者，这个问题也应该被问到。

例如，根据Wolfram|Alpha :

0.1 (base 4) = 0.[2...] (base 9)

如何计算(手工计算，如果编程听起来太复杂)？

我认为像这样的数据结构可以表示这个十进制数:

class Decimal{
    int[] constDigits;
    int exponent;
    int base;
    int signum;
    @Nullable @NonEmpty int[] appendRecurring;
}

例如，61/55可以这样表达:

{
    constDigits: [1, 1], // 11
    exponent: -1, // 11e-1
    base: 10,
    signum: 1, // positive
    appendRecurring: [0, 9]
}

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不是作业题

我不是在寻找任何图书馆。请不要引用任何库来回答这个问题。(因为我写这个类只是为了好玩，好吗？)

Answer 1

对于您的第一个问题:只要旧基数的质因数也在新基数的质因数中，您总是可以转换而不会变成周期性的。例如，每个以 2 为底数的数字都可以精确地表示为以 10 为底数。不幸的是，这个条件是充分的，但不是必需的，例如有一些以 10 为底数的数字，如 0.5，可以精确地表示为以 2 为底数，尽管 2 没有质因数5.

当您将数字写成分数并将其简化为最低项时，当且仅当分母仅具有也出现在 x 中的质因数(忽略质数的指数)时，它可以在基数 x 中没有周期性部分的情况下精确表示。

例如，如果您的数字是 3/25，您可以在每个具有质因数 5 的底数中准确表示它。即 5、10、15、20、25，...

如果数字是 4/175，分母有质因数 5 和 7，因此可以精确地表示为 35、70、105、140、175，...

对于实现，您可以在旧基数(主要做除法)或新基数(主要做乘法)中工作。我会避免在转换过程中经过三垒。

由于您在问题中添加了周期性表示，转换的最佳方法似乎是将原始表示转换为分数(这总是可以完成，也适用于周期性表示)，然后通过执行将其转换为新的表示部门。