java - LCP如何帮助查找模式的出现次数？

Question

我已经读过最长公共(public)前缀(LCP)可用于查找字符串中某个模式出现的次数。

具体来说，您只需要创建文本的后缀数组，对其进行排序，然后无需进行二进制搜索来找到范围，从而可以计算出出现的次数，则只需为文本中每个连续的条目计算LCP后缀数组。

尽管使用二进制搜索来查找模式的出现次数很明显，但我无法弄清楚LCP如何在这里帮助找到发生次数。

例如，banana的后缀数组:

LCP  Suffix entry
N/A  a  
1    ana  
3    anana  
0    banana  
0    na  
2    nana  

LCP如何帮助找到像“香蕉”或“na”之类的子字符串出现的次数对我来说并不明显。

是否有帮助弄清楚LCP在这里有什么帮助？

Answer 1

我不知道使用LCP数组而不执行二进制搜索的任何方法，但是我相信您所指的是Udi Manber和Gene Myers在Suffix arrays: a new method for on-line string searches中描述的技术。

(注意:以下说明已复制到2014年4月9日的Wikipedia文章中，请参见diff。如果您在此处和Wikipedia上查看修订历史，则会发现此处的修订是第一个编写的。请不要插入诸如“取自Wikipedia”之类的评论添加到我的答案中。)

这个想法是这样的:为了找到在文本T(长度N)中给定字符串P(长度m)的出现次数，

您对T的后缀数组使用二进制搜索(就像您建议的那样)

但是您可以使用LCP数组作为辅助数据结构来加快的速度。更具体地说，您将生成LCP阵列的特殊版本(以下将其称为LCP-LR)并使用它。

使用标准二进制搜索(不提供LCP信息)的问题是，在 中，您需要进行每个O(log N)比较，将P与后缀数组的当前条目进行比较，这意味着 完整字符串比较，最多m个字符。因此复杂度为O(m * log N)。

LCP-LR阵列可以通过以下方式将其提高到O(m + log N):

在二进制搜索算法的任何时候，您都像往常一样考虑后缀数组的范围(L，...，R)及其中心点M，并确定是否在左侧子范围中继续搜索(L，...，M)或在右子范围(M，...，R)中。

为了做出决定，将P与M处的字符串进行比较。如果P与M相同，则可以完成，但如果不相同，则将比较P的前k个字符，然后确定P在字典上是否较小或大于M。我们假设结果是P大于M。

因此，在下一步 中，考虑(M，...，R)和中间的新中心点M':

              M ...... M' ...... R
              |
       we know:
          lcp(P,M)==k

技巧现在是对LCP-LR进行了预先计算，以便通过O(1)查找可以告诉您M和M'的最长公共(public)前缀lcp(M，M')。

您已经知道(从上一步开始)M本身与P共同具有k个字符的前缀:lcp(P，M)= k。现在有三种可能性:

情况1:k

情况2:k> lcp(M，M')，即P与M共有的前缀字符多于M与M'共有的前缀字符。因此，如果我们将P与M'进行比较，则公共(public)前缀将小于k，而M'在字典上大于P，因此，在没有进行实际比较的情况下，我们继续左半部分(M，.. 。，M')。

情况3:k == lcp(M，M')。因此，M和M'在前k个字符中都与P相同。要确定我们是继续左半边还是右半边，只需从第(k + 1)个字符开始将P与M'比较即可。

我们以递归方式继续。

总体效果是没有将P的任何字符与文本的任何字符进行多次比较。字符比较的总数以m为界，因此总复杂度确实为O(m + log N)。

显然，剩下的关键问题是我们如何预先计算LCP-LR，以便它能够在O(1)时间告诉我们后缀数组的任意两个条目之间的lcp？如您所说，标准LCP数组仅告诉您连续条目lct的lct ，即任何x的lcp(x-1，x)。但是，上面描述中的M和M'不一定是连续的条目，那么该怎么做？

这样做的关键是要认识到在二进制搜索过程中只会出现某些范围(L，...，R):它始终以(0，...，N)开头，并在中心进行除法，然后继续向左或向右继续，然后再将其一半除以此类推。如果考虑到这一点:在二进制搜索过程中，后缀数组的每个条目都恰好是一个可能范围的中心点。因此，恰好有N个不同的范围(L ... M ... R)可能在二分查找中起作用，对于这N个可能的范围，预先计算lcp(L，M)和lcp(M，R)就足够了范围。因此，这是2 * N个不同的预先计算的值，因此LCP-LR的大小为O(N)。

此外，有一个简单的递归算法可以从标准LCP数组计算O(N)时间中LCP-LR的2 * N值–如果您需要对此进行详细说明，建议您提出一个单独的问题。

总结一下:

可以根据LCP

在O(N)时间和O(2 * N)= O(N)空间中计算LCP-LR

在二进制搜索过程中使用LCP-LR有助于将搜索过程从O(M * log N)加速到O(M + log N)

根据您的建议，可以使用两个二进制搜索来确定P的匹配范围的左端和右端，并且匹配范围的长度与P的出现次数相对应。