python - 这个 IRR 的实现中使用的数值方法是什么？

Question

ActiveState Recipes站点具有实现 Internal Rate of Return 的功能在 Python 中:

def irr(cashflows, iterations=100):
    """The IRR or Internal Rate of Return is the annualized effective 
       compounded return rate which can be earned on the invested 
       capital, i.e., the yield on the investment.

       >>> irr([-100.0, 60.0, 60.0, 60.0])
       0.36309653947517645
    """
    rate = 1.0
    investment = cashflows[0]
    for i in range(1, iterations+1):
        rate *= (1 - npv(rate, cashflows) / investment)
    return rate

此代码返回正确的值(至少对于我根据 Excel 检查的几个示例而言)，但我想知道为什么。

• 它似乎不是牛顿法(无导数)或正割法(仅跟踪一次迭代)的实现。
• 尤其是，将投资变量定义为第一个现金流量元素(及其后续使用)让我感到困惑。

有什么想法吗？

Answer 1

该方法称为定点迭代；例如，参见维基百科文章 http://en.wikipedia.org/wiki/Fixed_point_iteration .

想法是，如果 rate 包含正确的值(即 IRR)，则 NPV 为零，因此语句

rate *= (1 - npv(rate, cashflows) / investment)

不会改变费率。因此，一旦找到 IRR，迭代就不会改变它。不动点迭代有时会收敛到正确的值，有时不会。 @Gareth 和@unutbu 的例子表明它并不总是收敛。

收敛的标准如下。将循环中的更新语句写成

rate = rate * (1 - npv(rate, cashflows) / investment)

现在，如果右侧关于 rate 的导数介于 1 和 -1 之间，则该方法收敛。我无法立即看出在什么情况下会出现这种情况。

你可能想知道为什么迭代不做

rate *= (1 - npv(rate, cashflows))

没有奇怪的 investment 变量。确实，我也有同样的疑问；如果满足导数条件，这也将是一个收敛于 IRR 的不动点方法。我的猜测是，在某些情况下，您提供的方法满足派生条件，而不是没有投资的方法。