python - 如何检测非方阵的所有行是否在python中正交

Question

我可以使用 np.linalg.matrix_rank(A) 测试矩阵的秩。但是如何有效地测试 A 的所有行是否正交？

我可以获取所有行对并计算它们之间的内积，但有更好的方法吗？

我的矩阵的行数少于列数，并且行不是单位向量。

Answer 1

这个答案基本上总结了问题和评论中提到的方法，并添加了一些关于它们的比较/见解

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方法 #1 -- 检查所有行对

正如您所建议的，您可以遍历所有行对，并计算内积。如果 A.shape==(N,M)，即每行有 N 行，每行大小为 M，最终复杂度为 O(M*N^2)。

方法 #2 -- 矩阵乘法

正如@JoeKington 在评论中所建议的那样，您可以计算乘法 A.dot(A.T)，并检查所有非对角线元素。根据用于矩阵乘法的算法，这可以是 faster比朴素的 O(M*N^2) 算法，但只是渐进地更好。除非您的矩阵很大，否则它们会变慢。

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方法#1 的优点:

• 您可以“短路”——一旦找到第一个非正交对就退出检查
• 需要更少的内存。在 #2 中，您创建了一个临时的 NxN 矩阵。

方法 2 的优点:

• 乘法速度很快，因为它是在高度优化的线性代数库(ATLAS 的 BLAS)中实现的。我相信这些库会根据输入大小选择正确的算法(即它们不会在小矩阵上使用花哨的算法，因为它们对于小矩阵来说速度较慢。O 符号背后隐藏着一个很大的常数)。<
• 编写更少的代码

我敢打赌，对于小矩阵，方法 #2 会证明更快，因为 LA 库经过了大量优化，尽管事实上它们计算了整个乘法，即使在处理了第一对非正交行之后也是如此。