python - 用三角方法计算傅里叶级数

Question

我尝试根据以下公式实现傅立叶级数函数:

...哪里...

...和...

这是我解决问题的方法:

import numpy as np
import pylab as py

# Define "x" range.
x = np.linspace(0, 10, 1000)

# Define "T", i.e functions' period.
T = 2
L = T / 2

# "f(x)" function definition.
def f(x): 
    return np.sin(np.pi * 1000 * x)

# "a" coefficient calculation.
def a(n, L, accuracy = 1000):
    a, b = -L, L
    dx = (b - a) / accuracy
    integration = 0
    for i in np.linspace(a, b, accuracy):
        x = a + i * dx
        integration += f(x) * np.cos((n * np.pi * x) / L)
    integration *= dx
    return (1 / L) * integration

# "b" coefficient calculation.
def b(n, L, accuracy = 1000):
    a, b = -L, L
    dx = (b - a) / accuracy
    integration = 0
    for i in np.linspace(a, b, accuracy):
        x = a + i * dx
        integration += f(x) * np.sin((n * np.pi * x) / L)
    integration *= dx
    return (1 / L) * integration

# Fourier series.   
def Sf(x, L, n = 10):
    a0 = a(0, L)
    sum = 0
    for i in np.arange(1, n + 1):
        sum += ((a(i, L) * np.cos(n * np.pi * x)) + (b(i, L) * np.sin(n * np.pi * x)))
    return (a0 / 2) + sum    

# x axis.
py.plot(x, np.zeros(np.size(x)), color = 'black')

# y axis.
py.plot(np.zeros(np.size(x)), x, color = 'black')

# Original signal.
py.plot(x, f(x), linewidth = 1.5, label = 'Signal')

# Approximation signal (Fourier series coefficients).
py.plot(x, Sf(x, L), color = 'red', linewidth = 1.5, label = 'Fourier series')

# Specify x and y axes limits.
py.xlim([0, 10])
py.ylim([-2, 2])

py.legend(loc = 'upper right', fontsize = '10')

py.show()

...这是绘制结果后得到的:

我读过 How to calculate a Fourier series in Numpy?我已经实现了这种方法。它工作得很好，但它使用指数方法，我想关注三角函数和矩形方法，以防计算 a_{n} 和 b_{n} 系数。

提前谢谢你。

更新(已解决)

最后，这是代码的工作示例。不过，我会花更多的时间在这上面，所以如果有什么可以改进的地方，我会完成的。

from __future__ import division
import numpy as np
import pylab as py

# Define "x" range.
x = np.linspace(0, 10, 1000)

# Define "T", i.e functions' period.
T = 2
L = T / 2

# "f(x)" function definition.
def f(x): 
    return np.sin((np.pi) * x) + np.sin((2 * np.pi) * x) + np.sin((5 * np.pi) * x)

# "a" coefficient calculation.
def a(n, L, accuracy = 1000):
    a, b = -L, L
    dx = (b - a) / accuracy
    integration = 0
    for x in np.linspace(a, b, accuracy):
        integration += f(x) * np.cos((n * np.pi * x) / L)
    integration *= dx
    return (1 / L) * integration

# "b" coefficient calculation.
def b(n, L, accuracy = 1000):
    a, b = -L, L
    dx = (b - a) / accuracy
    integration = 0
    for x in np.linspace(a, b, accuracy):
        integration += f(x) * np.sin((n * np.pi * x) / L)
    integration *= dx
    return (1 / L) * integration

# Fourier series.   
def Sf(x, L, n = 10):
    a0 = a(0, L)
    sum = np.zeros(np.size(x))
    for i in np.arange(1, n + 1):
        sum += ((a(i, L) * np.cos((i * np.pi * x) / L)) + (b(i, L) * np.sin((i * np.pi * x) / L)))
    return (a0 / 2) + sum   

# x axis.
py.plot(x, np.zeros(np.size(x)), color = 'black')

# y axis.
py.plot(np.zeros(np.size(x)), x, color = 'black')

# Original signal.
py.plot(x, f(x), linewidth = 1.5, label = 'Signal')

# Approximation signal (Fourier series coefficients).
py.plot(x, Sf(x, L), '.', color = 'red', linewidth = 1.5, label = 'Fourier series')

# Specify x and y axes limits.
py.xlim([0, 5])
py.ylim([-2.2, 2.2])

py.legend(loc = 'upper right', fontsize = '10')

py.show()

Answer 1

考虑以不同的方式逐 block 开发您的代码。如果像这样的代码在第一次尝试时就可以工作，您应该会感到惊讶。正如@tom10 所说，调试是一种选择。另一种选择是在解释器中逐步对代码进行快速原型(prototype)设计，使用 ipython 会更好。

在上面，您期望 b_1000 是非零的，因为输入 f(x) 是一个 1000 在它。您还期望所有其他系数都为零，对吗？

那么你应该只关注函数 b(n, L, accuracy = 1000)。看着它，有3件事出了问题。这里有一些提示。

• dx 的乘法在循环内。确定吗？
• 在循环中，i 应该是一个整数吧？真的是整数吗？通过原型(prototype)设计或调试，您会发现这一点
• 在编写 (1/L) 或类似表达式时要小心。如果你使用的是 python2.7，你可能做错了。如果没有，至少在源代码顶部使用 from __future__ import division。阅读this PEP 如果你不知道我在说什么。

如果您解决了这 3 点，b() 将起作用。然后以类似的方式思考 a。