python - 如何使用 numpy(和 scipy)查找函数的所有零点？

Question

假设我在 a 和 b 之间定义了一个函数 f(x)。这个函数可以有很多零点，也可以有很多渐近线。我需要检索此函数的所有 零。最好的方法是什么？

其实我的策略是这样的:

1. 我根据给定的点数评估我的函数
2. 我检测是否有符号变化
3. 我在改变符号的点之间找到零

4. 我验证找到的零是否真的是零，或者这是否是渐近线

   U = numpy.linspace(a, b, 100) # evaluate function at 100 different points
   c = f(U)
   s = numpy.sign(c)
   for i in range(100-1):
       if s[i] + s[i+1] == 0: # oposite signs
           u = scipy.optimize.brentq(f, U[i], U[i+1])
           z = f(u)
           if numpy.isnan(z) or abs(z) > 1e-3:
               continue
           print('found zero at {}'.format(u))
   

这个算法似乎可行，除了我看到两个潜在的问题:

1. 它不会检测到不穿过 x 轴的零(例如，在像 f(x) = x**2 这样的函数中)但是，我不认为它可能会出现在我正在评估的函数中。
2. 如果离散化点太远，它们之间的零个数可能会超过一个，算法可能无法找到它们。

您是否有更好的策略(仍然有效)来找到函数的所有零点？

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我认为这对问题来说并不重要，但对于那些好奇的人来说，我正在处理光纤中波传播的特征方程。该函数看起来像(其中 V 和 ell 是先前定义的，并且 ell 是一个正整数):

def f(u):
    w = numpy.sqrt(V**2 - u**2)

    jl = scipy.special.jn(ell, u)
    jl1 = scipy.special.jnjn(ell-1, u)
    kl = scipy.special.jnkn(ell, w)
    kl1 = scipy.special.jnkn(ell-1, w)

    return jl / (u*jl1) + kl / (w*kl1)

Answer 1

为什么你仅限于 numpy？ Scipy 有一个包可以完全满足您的需求:

http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/optimize.nonlin.html

我学到的一课:数值编程很难，所以不要这样做:)

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无论如何，如果您执意要自己构建算法，我链接的 scipy 上的文档页面(需要永远加载，顺便说一句)为您提供了一个算法列表。我之前使用的一种方法是将函数离散化到您的问题所需的程度。 (也就是说，调整\delta x 使其远小于问题中的特征大小。)这让您可以寻找函数的特征(如符号变化)。并且，您可以很容易地计算线段的导数(可能从幼儿园开始)，因此您的离散函数具有明确定义的一阶导数。由于您已将 dx 调整为小于特征大小，因此可以保证不会遗漏任何对您的问题很重要的函数特征。

如果您想知道“特征大小”的含义，请查找函数的某些参数，单位为长度或 1/长度。也就是说，对于某些函数 f(x)，假设 x 有长度单位而 f 没有长度单位。然后寻找乘以 x 的东西。例如，如果要离散化 cos(\pi x)，则乘以 x 的参数(如果 x 有长度单位)的单位必须为 1/length。所以cos(\pi x)的特征量为1/\pi。如果你使你的离散化比这小得多，你就不会有任何问题。可以肯定的是，这个技巧并不总是奏效，因此您可能需要做一些修补。