python - NumPy 中最小二乘算法的高效计算

Question

我需要在最小二乘意义上求解一大组线性系统。我无法理解 numpy.linalg.lstsq(a, b)、np.dot(np.linalg.pinv(a), b) 和数学实现。

我使用以下矩阵:

h=np.random.random((50000,100))
a=h[:,:-1].copy()
b=-h[:,-1].copy()

算法的结果是:

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# mathematical implementation
%%timeit
np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(a.T,a)),a.T),b)

10 个循环，3 个循环中的最佳:36.3 毫秒每个循环

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# numpy.linalg.lstsq implementation
%%timeit
np.linalg.lstsq(a, b)[0]

10 个循环，3 个循环中的最佳:103 毫秒每个循环

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%%timeit
np.dot(np.linalg.pinv(a), b)

1 个循环，3 个循环中的最佳:每个循环 216 毫秒

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为什么会有差异？

Answer 1

例程lstsq处理任何系统:超定、欠定或良定。它的输出是你从 pinv(a)*b 得到的，但它比计算伪逆更快。原因如下:

一般建议:除非您确实需要，否则不要计算逆矩阵。为特定的右手边求解系统比反转其矩阵更快。

然而，您通过求解 a^Ta = a^Tb 的方法更快，即使您正在反转矩阵。是什么赋予了？问题是，反转 a^Ta 仅在 a 具有完整列等级时才有效。因此，您已将问题限制在这种特定情况下，并提高了速度，作为对通用性较低以及安全性较低的权衡，如下所示。

但是反转矩阵仍然效率低下。如果您知道 a 具有完整的列排名，则以下操作比您的三种尝试中的任何一种都快:

np.linalg.solve(np.dot(a.T, a), np.dot(a.T, b))

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也就是说，在处理条件较差的矩阵时，lstsq 仍然比上面的更好。形成乘积 a^Ta 基本上是条件数的平方，因此您更有可能得到无意义的结果。这是一个警示性的例子，使用了 SciPy 的 linalg 模块(本质上等同于 NumPy，但有更多的方法):

import numpy as np
import scipy.linalg as sl
a = sl.hilbert(10)    # a poorly conditioned square matrix of size 10
b = np.arange(10)     # right hand side
sol1 = sl.solve(a, b)
sol2 = sl.lstsq(a, b)[0]
sol3 = sl.solve(np.dot(a.T, a), np.dot(a.T, b))

这里 lstsq 给出了几乎与 solve 相同的输出(该系统的唯一解决方案)。然而，sol3 由于数字问题(您甚至不会被警告)而完全错误。

解决方案1:

  [ -9.89821788e+02,   9.70047434e+04,  -2.30439738e+06,
     2.30601241e+07,  -1.19805858e+08,   3.55637424e+08,
    -6.25523002e+08,   6.44058066e+08,  -3.58346765e+08,
     8.31333426e+07]

解决方案2:

  [ -9.89864366e+02,   9.70082635e+04,  -2.30446978e+06,
     2.30607638e+07,  -1.19808838e+08,   3.55645452e+08,
    -6.25535946e+08,   6.44070387e+08,  -3.58353147e+08,
     8.31347297e+07]

解决方案3:

  [  1.06913852e+03,  -4.61691763e+04,   4.83968833e+05,
    -2.08929571e+06,   4.55280530e+06,  -5.88433943e+06,
     5.92025910e+06,  -5.56507455e+06,   3.62262620e+06,
    -9.94523917e+05]