python - 在 Python 中计算分布中随机变量的概率

Question

给定一个定义 normal distribution 的均值和标准差，你将如何计算纯 Python 中的以下概率(即没有 Numpy/Scipy 或其他不在标准库中的包)？

1. 随机变量 r 的概率，其中 r < x 或 r <= x。
2. 随机变量 r 的概率，其中 r > x 或 r >= x。
3. 随机变量 r 的概率，其中 x > r > y。

我找到了一些库，比如 Pgnumerics ，它提供了计算这些函数的函数，但我不清楚底层的数学原理。

编辑:为了表明这不是家庭作业，下面发布的是我的 Python<=2.6 工作代码，尽管我不确定它是否正确处理了边界条件。

from math import *
import unittest

def erfcc(x):
    """
    Complementary error function.
    """
    z = abs(x)
    t = 1. / (1. + 0.5*z)
    r = t * exp(-z*z-1.26551223+t*(1.00002368+t*(.37409196+
        t*(.09678418+t*(-.18628806+t*(.27886807+
        t*(-1.13520398+t*(1.48851587+t*(-.82215223+
        t*.17087277)))))))))
    if (x >= 0.):
        return r
    else:
        return 2. - r

def normcdf(x, mu, sigma):
    t = x-mu;
    y = 0.5*erfcc(-t/(sigma*sqrt(2.0)));
    if y>1.0:
        y = 1.0;
    return y

def normpdf(x, mu, sigma):
    u = (x-mu)/abs(sigma)
    y = (1/(sqrt(2*pi)*abs(sigma)))*exp(-u*u/2)
    return y

def normdist(x, mu, sigma, f):
    if f:
        y = normcdf(x,mu,sigma)
    else:
        y = normpdf(x,mu,sigma)
    return y

def normrange(x1, x2, mu, sigma, f=True):
    """
    Calculates probability of random variable falling between two points.
    """
    p1 = normdist(x1, mu, sigma, f)
    p2 = normdist(x2, mu, sigma, f)
    return abs(p1-p2)

Answer 1

所有这些都非常相似:如果您可以使用函数 cdf(x) 计算 #1，那么 #2 的解决方案就是 1 - cdf(x)，对于 #3，它是 cdf(x) - cdf(y)。

由于 Python 包含自 2.7 版以来内置的 (gauss) 误差函数，您可以使用 the article you linked to 中的方程计算正态分布的 cdf 来实现此目的:

import math
print 0.5 * (1 + math.erf((x - mean)/math.sqrt(2 * standard_dev**2)))

其中 mean 是平均值，standard_dev 是标准差。

鉴于文章中的信息，您提出的问题似乎相对简单，因此有些注释:

• 随机变量(例如 X)的 CDF 是 X 位于无穷大和某个极限(例如 x(小写))之间的概率。 CDF 是连续分布的 pdf 的积分。 cdf 正是您为 #1 描述的内容，您希望一些正态分布的 RV 介于 -infinity 和 x (<= x) 之间。
• < 和 <= 以及 > 和 >= 对于连续随机变量是相同的，因为 rv 是任何单点的概率是 0。所以是否包含 x 本身并不重要计算连续分布的概率。
• 概率总和为 1，如果它不是 < x 则它 >= x 所以如果您有 cdf(x)。那么 1 - cdf(x) 就是随机变量 X >= x 的概率。由于 >= 对于连续随机变量等价于 >，这也是概率 X > x。