c++ - 对称正定矩阵的特征有效逆

Question

在 Eigen 中，如果我们有对称正定矩阵 A 那么我们可以计算 A 的逆矩阵

A.inverse();

或

A.llt().solve(I);

其中 I 是与 A 大小相同的单位矩阵。但是有没有更有效的方法来计算对称正定矩阵的逆？

例如，如果我们将 A 的 Cholesky 分解写为 A = LL^{T}，则 L^{-T} L^{- 1} 是 A 的逆函数，因为 A L^{-T} L^{-1} = LL^{T} L^{-T} L^{- 1} = I(其中 L^{-T} 表示 L 转置的逆)。

因此我们可以获得 A 的 Cholesky 分解，计算它的逆，然后获得该逆的叉积以找到 A 的逆。但我的直觉是，计算这些显式步骤会比使用 A.llt().solve(I) 慢。

在任何人问之前，我确实需要一个显式逆 - 它是 Gibbs 采样器的一部分的计算。

Answer 1

与 A.llt().solve(I) ，您假设 A 是 SPD 矩阵并应用 Cholesky 分解来求解方程 Ax=I。求解方程的数学过程与您的显式方法完全相同。因此，如果您正确执行每一步，性能应该是相同的。

另一方面，A.inverse() ，您正在进行一般矩阵求逆，它对大矩阵使用 LU 分解。因此性能应该低于 A.llt().solve(I);。