c# - 将 double 四舍五入到以位数给出的较低精度的有效方法

Question

在 C# 中，我想将 double 舍入到较低的精度，以便我可以将它们存储在关联数组中不同大小的桶中。与通常的舍入不同，我想舍入到一些有效位。因此，大数字在绝对值上的变化比小数字大得多，但它们往往会按比例变化。因此，如果我想四舍五入到 10 个二进制数字，我会找到十个最高有效位，并将所有低位归零，可能会添加一个小数字以进行四舍五入。

我更喜欢将“中途”数字四舍五入。

如果是整数类型，可能的算法如下:

  1. Find: zero-based index of the most significant binary digit set H.
  2. Compute: B = H - P, 
       where P is the number of significant digits of precision to round
       and B is the binary digit to start rounding, where B = 0 is the ones place, 
       B = 1 is the twos place, etc. 
  3. Add: x = x + 2^B 
       This will force a carry if necessary (we round halfway values up).
  4. Zero out: x = x mod 2^(B+1). 
       This clears the B place and all lower digits.

问题是找到一种有效的方法来找到最高位集。如果我使用的是整数，可以通过一些很酷的技巧来找到 MSB。如果可以的话，我不想调用 Round(Log2(x)) 。此函数将被调用数百万次。

注意:我已经阅读了这个 SO 问题:

What is a good way to round double-precision values to a (somewhat) lower precision?

它适用于 C++。我正在使用 C#。

更新:

这是我正在使用的代码(根据回答者提供的内容修改):

/// <summary>
/// Round numbers to a specified number of significant binary digits.
/// 
/// For example, to 3 places, numbers from zero to seven are unchanged, because they only require 3 binary digits,
/// but larger numbers lose precision:
/// 
///      8    1000 => 1000   8
///      9    1001 => 1010  10
///     10    1010 => 1010  10
///     11    1011 => 1100  12
///     12    1100 => 1100  12
///     13    1101 => 1110  14
///     14    1110 => 1110  14
///     15    1111 =>10000  16
///     16   10000 =>10000  16
///     
/// This is different from rounding in that we are specifying the place where rounding occurs as the distance to the right
/// in binary digits from the highest bit set, not the distance to the left from the zero bit.
/// </summary>
/// <param name="d">Number to be rounded.</param>
/// <param name="digits">Number of binary digits of precision to preserve. </param>
public static double AdjustPrecision(this double d, int digits)
{
    // TODO: Not sure if this will work for both normalized and denormalized doubles. Needs more research.
    var shift = 53 - digits; // IEEE 754 doubles have 53 bits of significand, but one bit is "implied" and not stored.
    ulong significandMask = (0xffffffffffffffffUL >> shift) << shift;
    var local_d = d;
    unsafe
    {
        // double -> fixed point (sorta)
        ulong toLong = *(ulong*)(&local_d);
        // mask off your least-sig bits
        var modLong = toLong & significandMask;
        // fixed point -> float (sorta)
        local_d = *(double*)(&modLong);
    }
    return local_d;
}

更新 2:Dekker 的算法

多亏了另一位受访者，我从 Dekker 的算法中得出了这一点。它舍入到最接近的值，而不是像上面的代码那样截断，并且它只使用安全代码:

private static double[] PowersOfTwoPlusOne;

static NumericalAlgorithms()
{
    PowersOfTwoPlusOne = new double[54];
    for (var i = 0; i < PowersOfTwoPlusOne.Length; i++)
    {
        if (i == 0)
            PowersOfTwoPlusOne[i] = 1; // Special case.
        else
        {
            long two_to_i_plus_one = (1L << i) + 1L;
            PowersOfTwoPlusOne[i] = (double)two_to_i_plus_one;
        }
    }
}

public static double AdjustPrecisionSafely(this double d, int digits)
{
    double t = d * PowersOfTwoPlusOne[53 - digits];
    double adjusted = t - (t - d);
    return adjusted;
}

更新 2:时间

我进行了测试，发现 Dekker 的算法比 TWICE 快两倍!

Number of calls in test: 100,000,000
Unsafe Time = 1.922 (sec)
Safe Time = 0.799 (sec)

Answer 1

Dekker 的算法会将 float 拆分为高位和低位部分。如果有效数中有 s 位(IEEE 754 64 位二进制中为 53)，则 *x0 接收高 s-b 位，这是您请求的，*x1 接收剩余的位，您可以丢弃这些位。在下面的代码中，Scale 的值应为 2^b。如果 b 在编译时已知，例如常量 43，您可以将 Scale 替换为 0x1p43。否则，您必须以某种方式生成 2^b。

这需要舍入到最近的模式。 IEEE 754 算术就足够了，但其他合理的算术也可能没问题。它将关系舍入为偶数，这不是您所要求的(向上关系)。有必要吗？

这假设 x * (Scale + 1) 没有溢出。必须以 double (不大于)评估操作。

void Split(double *x0, double *x1, double x)
{
    double d = x * (Scale + 1);
    double t = d - x;
    *x0 = d - t;
    *x1 = x - *x0;
}