python - 为什么 random() * random() 与 random() ** 2 不同？

Question

random() * random() 和 random() ** 2 有区别吗？ random() 从均匀分布中返回一个介于 0 和 1 之间的值。

在测试两个版本的随机平方数时，我注意到了一点不同。我创建了 100000 个随机平方数，并计算每个 0.01 区间(0.00 到 0.01，0.01 到 0.02，...)中有多少个数字。似乎这些版本的平方随机数生成是不同的。

对一个随机数求平方而不是将两个随机数相乘可以重复使用一个随机数，但我认为分布应该保持不变。真的有区别吗？如果不是，为什么我的测试显示出差异？

---

我为 random() * random() 生成两个随机分箱分布，为 random() ** 2 生成一个，如下所示:

from random import random

lst = [0 for i in range(100)]
lst2, lst3 = list(lst), list(lst)

#create two random distributions for random() * random()
for i in range(100000):
    lst[int(100 * random() * random())] += 1

for i in range(100000):
    lst2[int(100 * random() * random())] += 1

for i in range(100000):
    lst3[int(100 * random() ** 2)] += 1

给出

>>> lst
[
    5626, 4139, 3705, 3348, 3085, 2933, 2725, 2539, 2449, 2413,
    2259, 2179, 2116, 2062, 1961, 1827, 1754, 1743, 1719, 1753,
    1522, 1543, 1513, 1361, 1372, 1290, 1336, 1274, 1219, 1178,
    1139, 1147, 1109, 1163, 1060, 1022, 1007,  952,  984,  957,
     906,  900,  843,  883,  802,  801,  710,  752,  705,  729,
     654,  668,  628,  633,  615,  600,  566,  551,  532,  541,
     511,  493,  465,  503,  450,  394,  405,  405,  404,  332,
     369,  369,  332,  316,  272,  284,  315,  257,  224,  230,
     221,  175,  209,  188,  162,  156,  159,  114,  131,  124,
     96,   94,   80,   73,   54,   45,   43,   23,   18,     3
]

>>> lst2
[
    5548, 4218, 3604, 3237, 3082, 2921, 2872, 2570, 2479, 2392,
    2296, 2205, 2113, 1990, 1901, 1814, 1801, 1714, 1660, 1591,
    1631, 1523, 1491, 1505, 1385, 1329, 1275, 1308, 1324, 1207,
    1209, 1208, 1117, 1136, 1015, 1080, 1001,  993,  958,  948,
     903,  843,  843,  849,  801,  799,  748,  729,  705,  660,
     701,  689,  676,  656,  632,  581,  564,  537,  517,  525,
     483,  478,  473,  494,  457,  422,  412,  390,  384,  352,
     350,  323,  322,  308,  304,  275,  272,  256,  246,  265,
     227,  204,  171,  191,  191,  136,  145,  136,  108,  117,
      93,   83,   74,   77,   55,   38,   32,   25,   21,    1
]

>>> lst3
[
    10047, 4198, 3214, 2696, 2369, 2117, 2010, 1869, 1752, 1653,
     1552, 1416, 1405, 1377, 1328, 1293, 1252, 1245, 1121, 1146,
     1047, 1051, 1123, 1100,  951,  948,  967,  933,  939,  925,
      940,  893,  929,  874,  824,  843,  868,  800,  844,  822,
      746,  733,  808,  734,  740,  682,  713,  681,  675,  686,
      689,  730,  707,  677,  645,  661,  645,  651,  649,  672,
      679,  593,  585,  622,  611,  636,  543,  571,  594,  593,
      629,  624,  593,  567,  584,  585,  610,  549,  553,  574,
      547,  583,  582,  553,  536,  512,  498,  562,  536,  523,
      553,  485,  503,  502,  518,  554,  485,  482,  470,  516
]

预期的随机误差是前两者之差:

[
    78,  79, 101, 111,   3,  12, 147,  31,  30,  21,
    37,  26,   3,  72,  60,  13,  47,  29,  59, 162,
   109,  20,  22, 144,  13,  39,  61,  34, 105,  29,
    70,  61,   8,  27,  45,  58,   6,  41,  26,   9,
     3,  57,   0,  34,   1,   2,  38,  23,   0,  69,
    47,  21,  48,  23,  17,  19,   2,  14,  15,  16,
    28,  15,   8,   9,   7,  28,   7,  15,  20,  20,
    19,  46,  10,   8,  32,   9,  43,   1,  22,  35,
     6,  29,  38,   3,  29,  20,  14,  22,  23,   7,
     3,  11,   6,   4,   1,   7,  11,   2,   3,   2
]

但第一个和第三个之间的差异要大得多，暗示分布不同:

[
    4421,   59,  491,  652,  716,  816,  715,  670,  697,  760,
     707,  763,  711,  685,  633,  534,  502,  498,  598,  607,
     475,  492,  390,  261,  421,  342,  369,  341,  280,  253,
     199,  254,  180,  289,  236,  179,  139,  152,  140,  135,
     160,  167,   35,  149,   62,  119,    3,   71,   30,   43,
      35,   62,   79,   44,   30,   61,   79,  100,  117,  131,
     168,  100,  120,  119,  161,  242,  138,  166,  190,  261,
     260,  255,  261,  251,  312,  301,  295,  292,  329,  344,
     326,  408,  373,  365,  374,  356,  339,  448,  405,  399,
     457,  391,  423,  429,  464,  509,  442,  459,  452,  513
]

Answer 1

下面是一些情节:

random() * random() 的所有可能性:

x轴是一个向右递增的随机变量，y轴是另一个向上递增的随机变量。

你可以看到，如果其中一个低，结果就会低，并且都必须高才能得到高结果。

当唯一的决策者是单个轴时，如 random() ** 2案例，你得到

在这种情况下，它更有可能获得非常暗(大)的值，因为整个顶部都是暗的，而不仅仅是一个角。

当你用random() * random()使两者都线性化时在顶部:

你看分布确实不一样。

代码:

import numpy
import matplotlib
from matplotlib import pyplot
import matplotlib.cm

def make_fig(name, data):
    figure = matplotlib.pyplot.figure()
    print(data.shape)
    figure.set_size_inches(data.shape[1]//100, data.shape[0]//100)

    axes = matplotlib.pyplot.Axes(figure, [0, 0, 1, 1])
    axes.set_axis_off()
    figure.add_axes(axes)

    axes.imshow(data, origin="lower", cmap=matplotlib.cm.Greys, aspect="auto")
    figure.savefig(name, dpi=200)

xs, ys = numpy.mgrid[:1000, :1000]
two_random = xs * ys

make_fig("two_random.png", two_random)

two_random_flat = two_random.flatten()
two_random_flat.sort()
two_random_flat = two_random_flat[::1000]

make_fig("two_random_1D.png", numpy.tile(two_random_flat, (100, 1)))

one_random = xs * xs

make_fig("one_random.png", one_random)

one_random_flat = one_random.flatten()
one_random_flat.sort()
one_random_flat = one_random_flat[::1000]

make_fig("one_random_1D.png", numpy.tile(one_random_flat, (100, 1)))

---

您也可以从数学上解决这个问题。获得小于 x 的值的概率, 与 0 ≤ x ≤ 1是

random()² :

√x

作为随机值低于x的概率是 random()² < x 的概率.

random() · random() :

给定第一个随机变量是r第二个是R ，我们可以找到 Rr < x 的概率固定 R :

P(Rr < x)
= P(r < x/R)
= 1 if x > R (and so x/R > 1)
or
= x/R otherwise

所以我们想要

∫ P(Rr < x) dR from R=0 to R=1

= ∫ 1   dR from R=0 to R=x
+ ∫ x/R dR from R=x to R=1

= x(1 - ln R)

正如我们所见，√x ≠ x(1 - ln R) .

这些分布显示为:

y 轴给出直线(random()² 或 random() · random())小于 x 轴的概率。

我们看到 random() · random() , 大数的概率明显较小。

密度函数

我想最能说明问题的是区分(½x ^ -½ 和 - ln x)并绘制概率密度函数:

这显示了每个 x 的概率相对而言。所以 x 的概率很大 ( > 0.5 ) 大约是 random()² 的两倍变体。