c++ - 二维数据点集的加权线性最小二乘法

Question

我的问题是讨论的延伸How to fit the 2D scatter data with a line with C++ .现在我想进一步扩展我的问题:在估计适合 2D 散点数据的线时，如果我们可以不同地处理每个 2D 散点数据会更好。也就是说，如果散点离直线较远，我们可以给该点较低的权重，反之亦然。因此，问题就变成了:给定一个二维散点数组及其权重因子，我们如何估计通过它们的直线？可以在本文 (weighted least regression) 中找到此方法的良好实现。但是，那篇文章的算法实现过于复杂，涉及到矩阵计算。因此，我试图找到一种无需矩阵计算的方法。该算法是 simple linear regression 的扩展，为了说明算法，我写了下面的MATLAB代码:

function line = weighted_least_squre_for_line(x,y,weighting);


part1 = sum(weighting.*x.*y)*sum(weighting(:));

part2 = sum((weighting.*x))*sum((weighting.*y));

part3 = sum( x.^2.*weighting)*sum(weighting(:));

part4 = sum(weighting.*x).^2; 

beta = (part1-part2)/(part3-part4);

alpha = (sum(weighting.*y)-beta*sum(weighting.*x))/sum(weighting);

a = beta;
c = alpha;
b = -1;
line = [a b c];

上述代码中，x,y,weighting分别代表x坐标、y坐标和权重因子。我用几个例子测试了算法，但仍然不确定它是否正确，因为此方法与 Polyfit 得到不同的结果。 ，这依赖于矩阵计算。我现在在这里发布实现并征求您的意见。您认为这是正确的实现方式吗？谢谢!

Answer 1

如果您认为降低远离直线的点的权重是个好主意，您可能会被 http://en.wikipedia.org/wiki/Least_absolute_deviations 吸引，因为一种计算方法是通过 http://en.wikipedia.org/wiki/Iteratively_re-weighted_least_squares ，这将减少远离直线的点的权重。