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给定空间 (3D) 中的 3 个点:A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) C = (x3, y3, z3);那么如何求通过这三个点的圆(弧)的圆心和半径,即求圆方程呢?这里使用 Python 和 Numpy 是我的初始代码
import numpy as np
A = np.array([x1, y1, z1])
B = np.array([x2, y2, z2])
C = np.array([x3, y3, z3])
#Find vectors connecting the three points and the length of each vector
AB = B - A
BC = C - B
AC = C - A
# Triangle Lengths
a = np.linalg.norm(AB)
b = np.linalg.norm(BC)
c = np.linalg.norm(AC)
根据 Circumradius 定义,可以使用以下方法找到半径:
R = (a * b * c) / np.sqrt(2.0 * a**2 * b**2 +
2.0 * b**2 * c**2 +
2.0 * c**2 * a**2 -
a**4 - b**4 - c**4)
但是,我在寻找中心的笛卡尔坐标时遇到了问题。一种可能的解决方案是使用三角形点的“重心坐标”来找到外心的三线坐标 ( Circumcenter )。
首先 ( using this source ) 我们找到外心重心坐标:
#barcyntric coordinates of center
b1 = a**2 * (b**2 + c**2 - a**2)
b2 = b**2 * (c**2 + a**2 - b**2)
b3 = c**2 * (a**2 + b**2 - c**2)
那么中心 (P) 的笛卡尔坐标将是:
Px = (b1 * A[0]) + (b2 * B[0]) + (b3 * C[0])
Py = (b1 * A[1]) + (b2 * B[1]) + (b3 * C[1])
Pz = (b1 * A[2]) + (b2 * B[2]) + (b3 * C[2])
但是,上面的重心坐标值似乎不正确。当用已知值的例子求解时,半径是正确的,但中心坐标不是。
例子:对于这三点:
A = np.array([2.0, 1.5, 0.0])
B = np.array([6.0, 4.5, 0.0])
C = np.array([11.75, 6.25, 0.0])
半径和圆心坐标为:
R = 15.899002930062595
P = [13.4207317073, -9.56097560967, 0]
关于如何找到中心坐标的任何想法?
最佳答案
您的代码有两个问题。
首先是在命名约定中。对于您用来保存的所有公式,长度 a
的一侧必须是与点 A
相对的一侧,对于 b
也是如此和 B
和 c
和 C
。您可以通过将它们计算为:
a = np.linalg.norm(C - B)
b = np.linalg.norm(C - A)
c = np.linalg.norm(B - A)
第二个与您的来源中关于外心的重心坐标的注释有关:不一定是均匀的。也就是说,它们不需要以任何方式归一化,并且您用于从重心坐标计算笛卡尔坐标的公式仅在它们相加为 1 时才有效。
幸运的是,您只需将生成的笛卡尔坐标除以 b1 + b2 + b3
即可获得您想要的结果。稍微精简一下代码以提高效率,我得到了您期望的结果:
>>> A = np.array([2.0, 1.5, 0.0])
>>> B = np.array([6.0, 4.5, 0.0])
>>> C = np.array([11.75, 6.25, 0.0])
>>> a = np.linalg.norm(C - B)
>>> b = np.linalg.norm(C - A)
>>> c = np.linalg.norm(B - A)
>>> s = (a + b + c) / 2
>>> R = a*b*c / 4 / np.sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
>>> b1 = a*a * (b*b + c*c - a*a)
>>> b2 = b*b * (a*a + c*c - b*b)
>>> b3 = c*c * (a*a + b*b - c*c)
>>> P = np.column_stack((A, B, C)).dot(np.hstack((b1, b2, b3)))
>>> P /= b1 + b2 + b3
>>> R
15.899002930062531
>>> P
array([ 13.42073171, -9.56097561, 0. ])
关于python - 给定空间中的三个点(3D)找到弧/圆方程,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/20314306/
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