c++ - 准确地创建范围 [a,b) 中的浮点值

Question

考虑

auto x = a + (b-a)*v;

这意味着在 [a,b) 范围内创建一个值因数v在 [0,1.0) .从纯数学的角度来看，x>=a , 和 x<b .但是我们如何证明或确保这适用于 float 呢？ a , b , v是相同类型( double 或 float )和 b>a 的非负有限浮点值(最初说 b>=a 这显然不符合我对 x 的要求)和 v<=netxtafter(1.0,0) (也就是说，它刚好低于 1.0)。

很明显，b-a >0 ，因此 (b-a)*v >=0 ，这样我们就不需要检查:

if (x<a) return a;

但这也是多余的吗？

if (x>=b) return std::nextafter(b,a);

编译器(优化)可以重写表达式来影响这些问题吗？浮点表示的类型是否进入？ (我最感兴趣的是最常见的 (iec559/IEEE 754)。

Answer 1

It seems obvious, that b-a >0, and therefore (b-a)*v >=0, so that we don't need to check: if (x<a) return a;

属性(property)b - a > 0在 IEEE 754 中是正确的，但我不会说这很明显。在浮点标准化的时候，Kahan fought for this property resulting from “gradual underflow” to be true .其他提案没有次正规数，也没有使它成为现实。你可以有 b > a和 b - a == 0在这些其他提案中，例如采用 a最小的正数和b它的继任者。

即使没有逐渐下溢，在通过将次正规数刷新为零来错误实现 IEEE 754 的系统上，b > a暗示b - a >= 0 , 这样就不用担心 x低于a .

But is this also redundant? if (x>=b) return std::nextafter(b,a);

即使在 IEEE 754 中，此测试也不是多余的。以 b 为例成为a的继任者| .对于 v 的所有值以上0.5 , 在默认舍入到最近模式下，a + (b-a)*v 的结果是b ，你试图避免。

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我的例子是用不寻常的值构建的 a和 b因为这使我免于编写程序来通过蛮力查找反例，但不要假设其他更可能是 a 的值对和 b不要表现出问题。如果我正在寻找额外的反例，我会特别寻找浮点减法 b - a 的值对。向上舍入。

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编辑:哦，好吧，这是另一个反例:

取a成为-1.0的继任者的继任者(即，在 double 中，使用 C99 的十六进制表示法 -0x1.ffffffffffffep-1 )和 b成为3.0 .然后 b - a四舍五入到 4.0，取 v成为1.0的前身, a + (b - a) * v rounds up至 3.0 .

浮点减法b - a a 的某些值不需要四舍五入和 b做一个反例，如图here :服用a作为1.0的继任者和 b作为2.0也有效。