python - 多维高斯过程回归的训练超参数

Question

这是一个代码的简单工作实现，我在 Python 的 scikit-learn 中使用高斯过程回归 (GPR)，具有二维输入(即 x1 和 x2 上的网格)和一维输出 (y)。

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt 
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor 
from sklearn.gaussian_process.kernels import RBF, ConstantKernel as C
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

#  Example independent variable (observations)
X = np.array([[0.,0.], [1.,0.], [2.,0.], [3.,0.], [4.,0.], 
                [5.,0.], [6.,0.], [7.,0.], [8.,0.], [9.,0.], [10.,0.], 
                [11.,0.], [12.,0.], [13.,0.], [14.,0.],
                [0.,1.], [1.,1.], [2.,1.], [3.,1.], [4.,1.], 
                [5.,1.], [6.,1.], [7.,1.], [8.,1.], [9.,1.], [10.,1.], 
                [11.,1.], [12.,1.], [13.,1.], [14.,1.],
                [0.,2.], [1.,2.], [2.,2.], [3.,2.], [4.,2.], 
                [5.,2.], [6.,2.], [7.,2.], [8.,2.], [9.,2.], [10.,2.], 
                [11.,2.], [12.,2.], [13.,2.], [14.,2.]])#.T

# Example dependent variable (observations) - noiseless case 
y = np.array([4.0, 3.98, 4.01, 3.95, 3.9, 3.84,3.8,
              3.73, 2.7, 1.64, 0.62, 0.59, 0.3, 
              0.1, 0.1,
            4.4, 3.9, 4.05, 3.9, 3.5, 3.4,3.3,
              3.23, 2.6, 1.6, 0.6, 0.5, 0.32, 
              0.05, 0.02,
            4.0, 3.86, 3.88, 3.76, 3.6, 3.4,3.2,
              3.13, 2.5, 1.6, 0.55, 0.51, 0.23, 
              0.11, 0.01]) 

x1 = np.linspace(0, 14, 20)
x2 = np.linspace(0, 5, 100) 

i = 0 
inputs_x = []
while i < len(x1):
    j = 0
    while j < len(x2):
        inputs_x.append([x1[i],x2[j]])
        j = j + 1
    i = i + 1
inputs_x_array = np.array(inputs_x) 

# Instantiate a Gaussian Process model
kernel = C(1.0, (1e-3, 1e3)) * RBF((1e-2, 1e2), (1e-2, 1e2))
gp = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, n_restarts_optimizer=20)

gp.fit(X, y.reshape(-1,1)) #removing reshape results in a different error

y_pred, sigma = gp.predict(inputs_x_array, return_std=True)

它有效，但是在定义内核时，我如何确保为我的不同输入(即 x1 和 x2 )设置不同的超参数(例如不同的尺度长度)？在上面的示例中，使用的标准内核是径向基函数 (RBF)，尽管有两个输入维度，但它似乎具有单一长度尺度。但是如何训练这个内核(或自定义内核，例如双曲正切)来考虑不同输入维度的不同超参数？

Answer 1

您将需要各向异性内核，目前只有 sklearn 中的少数内核支持这些内核。 RBF 就是这样一个示例，您可以在其中给出一个列表作为 length_scale 参数的输入。例如，RBF(length_scale = [1, 10], length_scale_bounds=(1e-5, 1e5)) 是完全有效的，其中 1 表示 x1，10 表示x2。

然而，sklearn 中的大多数内核都是各向同性的，其中各向异性情况 - 目前 - 不支持。如果你想要更多的自由，我建议你看看其他包(比如 GPy)或者你总是可以尝试实现你自己的各向异性内核。