c++ - 最高有效位基数排序如何比最低有效位基数排序更有效？

Question

我刚刚在阅读以下问题: Radix sort most significant first or least significant, which is faster?

接受答案的作者暗示 MSD 基数排序确实更快。但是我不明白为什么。

我已经实现了 LSD 和 MSD(通过移位操作基于二进制)，LSD 是迭代的，只需要一个桶数组，而 MSD 是递归的，每次递归调用都需要一个单独的桶数组。

如果您创建一个包含 1000 万个整数的随机数组，我看不出 MSD 会比 LSD 快多少，因为您每次重新输入函数时都会分配额外的桶数组，而且您还必须面对开销递归调用自己。

我可以看到 MSD 和 LSD 的组合如何提供全面的提升(对前几位运行 MSD，对其余位运行 LSD 以减少缓存未命中)，但是单独使用 MSD 是如何预期更多考虑到 LSD 的递归性质以及每次递归调用都需要一个新的桶数组这一事实，它比 LSD 更高效，这与 LSD 不同，LSD 是迭代的并且只需要一个桶数组来完成整个排序过程？

Answer 1

回答

MSD 基数排序的迭代次数取决于输入大小，而 LSD 基数排序的迭代次数取决于 key 长度。这通常会导致 MSD 基数排序所需的迭代次数明显少于 LSD 基数排序，因此速度更快。

内存分配不是问题，因为 MSD 基数排序可以很容易地就地实现。

理由

我已经实现了 LSD 和 MSD 基数排序，所以我可以看到它们具有哪些属性使 MSD 基数排序比 LSD 基数排序更快。

我将它们的速度与 std::sort 在 100.000.000 个随机正 63 位整数的数组上进行了比较(我使用 std::sort 的结果我也用于验证排序的数组)并得到以下结果:

• 纯 LSD 排序:10.5s
• std::sort : 9.5s
• 纯 MSD 排序:9.3s
• MSD 排序 + 插入排序:7.6s

因此，它比 std::sort 稍微快一些，如果叶子用 insertion_sort 排序，它会快很多。

为什么 MSD 基数排序可能比 LSD 基数排序更快？

• 存在缓存局部性，但我怀疑这是否真的很重要，因为 LSD 基数排序也会扫描数组，而不是执行随机访问。
• 可以实现 MSD 基数排序，使其空间复杂度为 O(d k)，因此仅取决于基数 d 和项的长度 k。这个可以在栈上分配，几乎是免费的。因此，它基本上是一种就地排序算法。
• 可以修剪底层。 IE。当一个桶只包含 1 个元素时，它已经排序，因此不需要对该桶进行递归。因此，MSD 基数排序只需要执行大约 log(n)/log(d) 次迭代。而 LSD 基数排序总是必须执行 k 次迭代。

我相信最后一点是 MSD 基数排序通常比 LSD 基数排序更快的原因。如果输入数据是均匀随机分布的，则期望运行时间为 O(n log(n)/log(d))，而 LSD 基数排序的运行时间为 O(n k)。通常 n 比 k^d 小很多。只有当 n = o(k^d) 时，LSD 基数排序才会更快。然而，在这种情况下，也可以使用计数排序(k=1 的基数排序)。

实现

inline void insertion_sort(int64_t * array, int n) {
  for (int i=1; i<n; i++) {
    int64_t val = array[i];
    int j = i;
    while (j>0 && array[j-1] > val) {
      array[j] = array[j-1];
      j--;
    }
    array[j] = val;
  }
}

void msd_sort(int64_t * array, int n, int64_t bit=60) {
  const int64_t mask = INT64_C(7);
  // Count bucket sizes
  int count[9]={};
  for (int i=0; i<n; i++) {
    count[((array[i]>>bit) & mask)+1]++;
  }
  // Create holes.
  int loc[8];
  int64_t unsorted[8];
  int live = 0;
  for (int i=0; i<8; i++) {
    loc[i] = count[i];
    count[i+1]+=count[i];
    unsorted[live] = array[loc[i]];
    if (loc[i] < count[i+1]) {
      live++;
    }
  }
  live--;
  // Perform sort
  for (int i=0; i<n; i++) {
    int64_t val = unsorted[live];
    int64_t d = (val>>bit) & mask;
    array[loc[d]] = val;
    loc[d]++;
    unsorted[live] = array[loc[d]];
    if (loc[d] == count[d+1]) {
      live--;
    }
  }
  if (bit>0) {
    for (int i=0; i<8; i++) {
      n = count[i+1] - count[i];
      if (n > 20) { // If replaced by n > 1, insertion_sort is not needed.
        msd_sort(array + count[i], n, bit-3);
      } else {
        insertion_sort(array + count[i], n);
      }
    }
  }
}

void lsd_sort(int64_t * array, int n) {
  const int64_t mask = INT64_C(7);
  std::vector<int64_t> buffer(n);
  for (int64_t bit=0; bit<63; bit+=3) {
    // Copy and count
    int count[9]={};
    for (int i=0; i<n; i++) {
      buffer[i] = array[i];
      count[((array[i]>>bit) & mask) + 1]++;
    }
    // Init writer positions
    for (int i=0; i<8; i++) {
      count[i+1]+=count[i];
    }
    // Perform sort
    for (int i=0; i<n; i++) {
      int64_t val = buffer[i];
      int64_t d = (val>>bit) & mask;
      array[count[d]] = val;
      count[d]++;
    }
  }
}