c++ - Excel NORMDIST 函数的 C++ 实现中的魔数(Magic Number)

Question

在寻找 Excel 的 NORMDIST 的 C++ 实现时(累计)我找到的函数 this on a website :

static double normdist(double x, double mean, double standard_dev)
{
    double res;
    double x=(x - mean) / standard_dev;
    if (x == 0)
    {
        res=0.5;
    }
    else
    {
        double oor2pi = 1/(sqrt(double(2) * 3.14159265358979323846));
        double t = 1 / (double(1) + 0.2316419 * fabs(x));
        t *= oor2pi * exp(-0.5 * x * x) 
             * (0.31938153   + t 
             * (-0.356563782 + t
             * (1.781477937  + t 
             * (-1.821255978 + t * 1.330274429))));
        if (x >= 0)
        {
            res = double(1) - t;
        }
        else
        {
            res = t;
        }
    }
    return res;
}

我有限的数学知识让我想到了Taylor series ，但我无法确定这些数字的来源:

0.2316419，0.31938153，-0.356563782,1.781477937，-1.821255978,1.330274429

任何人都可以建议它们来自哪里以及如何获得它们吗？

Answer 1

查看数字食谱，第 6.2.2 章。近似值是标准的。回想一下

NormCdf(x) = 0.5 * (1 + erf(x / sqrt(2)))
erf(x) = 2 / (sqrt(pi)) integral(e^(-t^2) dt, t = 0..x)

并将erf写成

1 - erf x ~= t * exp(-x^2 + P(t))

对于正 x，其中

t = 2 / (2 + x)

并且由于 t 在 0 和 1 之间，您可以通过 Chebyshev approximation 找到 P一劳永逸(数值食谱，第 5.8 节)。您不使用泰勒展开:您希望近似值在整条实线上都很好，而泰勒展开无法保证。 Chebyshev 近似是 L^2 norm 中最好的多项式近似，这是很难找到的很好的替代品 minimax polynomial (= sup 范数中的最佳多项式逼近)。

这里的版本略有不同。相反，一个人写道

1 - erf x = t * exp(-x^2) * P(t)

但过程类似，直接计算normCdf，而不是erf。

特别是您正在使用的“实现”与文本中处理的“实现”非常相似，因为它的形式为 b*exp(-a*z^2) *y(t) 但它也是一个 Chevishev 大约。到 erfc(x) 函数，正如您在 Schonfelder(1978)[ http://www.ams.org/journals/mcom/1978-32-144/S0025-5718-1978-0494846-8/S0025-5718-1978-0494846-8.pdf 的这篇论文中看到的那样]

此外，在第 6.2.2 章的最后，在第 3 版的数值食谱中，他们提供了一个非常准确的类型 t*exp(-z^2 + c0 + c1*t+ c2t^2 + c3*t^3 + ... + c9t^9)