c++ - 舍入误差检测

Question

我有两个整数 n 和 d。这些可以用双 dn(n) 和双 dd(d) 精确表示。 C++ 中是否有可靠的方法来检查

double result = dn/dd

包含舍入错误？如果它只是一个整数除法检查 (n/d) * d==n 是否可行，但使用 double 算法执行此操作可能会隐藏舍入错误。

编辑:发布这篇文章后不久，我突然想到将舍入模式更改为 round_down 会使 (n/d)*d==n 测试适用于 double。但如果有更简单的解决方案，我还是想听听。

Answer 1

如果硬件 FMA 可用，那么在大多数情况下(n 预计不小的情况，如下所示)，最快的测试可能是:

#include <cmath>
…
double q = dn/dd;
if (std::fma(-q, dd, dn))
    std::cout << "Quotient was not exact.\n";

如果 nd−q•dd 太小以至于四舍五入为零，这可能会失败，这发生在最近舍入中-ties-to-even 模式，如果它的幅度小于最小可表示正值的一半(通常为 2⁻¹⁰⁷⁴)。这只有在 dn 本身很小的情况下才会发生。如果需要的话，我希望我可以计算 dn 的一些界限，并且鉴于 dn = n 和 n 是一个整数，不应出现。

忽略指数界限，一种测试可整除有效数字的方法是:

#include <cfloat>
#include <cmath>
…
int sink; // Needed for frexp argument but will be ignored.
double fn = std::ldexp(std::frexp(n, &sink), DBL_MANT_DIG);
double fd = std::frexp(d, &sink);
if (std::fmod(fn, fd))
    std::cout << "Quotient will not be exact.\n";

鉴于 n 和 d 是在浮点类型中可以精确表示的整数，我认为我们可以证明它们的指数不能满足上述测试失败。在某些情况下，n 是一个小整数而 d 是一个大整数(从 2¹⁰²³ 到 2¹⁰²⁴ 的值) −2⁹⁷²，包括)我需要考虑。