c++ - Density of floating point number - 数字的大小

Question

float 越大(无论是正数还是负数)，我们用于编码十进制数字的位数就越少，这是真的吗？

我们能否在 2¹ 和 2² 之间编码比 2¹⁶ 和 2³² 之间更多的十进制数字？

这两个范围之间的值计数是否相同？

Answer 1

IEEE 754，binary-32 数规定如下:

基本上它包含三个部分:

• 1位float32_sign表示符号
• 23 位 float32_fraction[] 表示二进制小数系数
• 8 位 float32_exp 表示 2 的整数指数

参见 wikipedia/Single-precision_floating-point_format了解详情。

获取实际数字的公式为:

忘记指数，小数部分可以准确表示 pow(2, 23) = 8388608 值。此范围内的最大值和最小值是:

    ( 1 + 0, 1 + sum(pow(2, -i)) )  # All co-efficients being 0 and 1 resp. in the above formula
=>  ( 1, 2 - pow(2, -23) )          # By geometric progression
~>  ( 1, 2 )                        # Approximation by upper-bound

因此对于指数为 1 (float32_exp = 128)，我们将在 (1,2) 和 (-1,-2) 之间有 8388608 个数字。

但是对于大数，例如当指数为 126 (float32_exp = 253) 时，我们仍然只有 8388608 个数字来表示 (2^126), 2^127) 之间的差距 和 (-2^126, -2^127)。

1 到 128 之间的分布图如下所示:

该图在 0 处非常陡峭，绘制它会使它看起来像仅在 0 处的单个值。请注意，该图是一条双曲线。

获取两个值之间的 float 个数的公式为:

def num_floats(begin, end):
    # pow(2, 23) * (log(end, 2) - log(start, 2)) == pow(2, 23) * log(end/start, 2)
    return 8388608 * math.log(float(end)/float(begin), 2)