python - NumPy 的 : calculate the derivative of the softmax function

Question

我正在尝试通过 MNIST 理解简单的 3 层神经网络中的反向传播。

输入层有weights 和bias。标签是 MNIST，因此它是一个 10 类向量。

第二层是一个线性变换。第三层是 softmax 激活函数，以获取概率输出。

反向传播 计算每一步的导数，并将其称为梯度。

Previous layers 将 global 或 previous 渐变附加到 local gradient。我在计算 softmax

的 local gradient 时遇到问题

一些在线资源解释了 softmax 及其导数，甚至给出了 softmax 本身的代码示例

def softmax(x):
    """Compute the softmax of vector x."""
    exps = np.exp(x)
    return exps / np.sum(exps)

关于何时 i = j 和何时 i != j 解释导数。这是我想出的一个简单的代码片段，希望能验证我的理解:

def softmax(self, x):
    """Compute the softmax of vector x."""
    exps = np.exp(x)
    return exps / np.sum(exps)

def forward(self):
    # self.input is a vector of length 10
    # and is the output of 
    # (w * x) + b
    self.value = self.softmax(self.input)

def backward(self):
    for i in range(len(self.value)):
        for j in range(len(self.input)):
            if i == j:
                self.gradient[i] = self.value[i] * (1-self.input[i))
            else: 
                 self.gradient[i] = -self.value[i]*self.input[j]

那么self.gradient就是局部梯度，它是一个向量。这个对吗？有没有更好的写法？

Answer 1

我假设您有一个带有 W1 的 3 层 NN，b1 与从输入层到隐藏层的线性变换以及 W2, b2 与从隐藏层到输出层的线性变换相关联。 Z1 和Z2 是隐藏层和输出层的输入向量。 a1和a2代表隐藏层和输出层的输出。 a2 是您的预测输出。 delta3 和 delta2 是误差(反向传播)，您可以看到损失函数相对于模型参数的梯度。

这是 3 层 NN(输入层，只有一个隐藏层和一个输出层)的一般场景。您可以按照上述过程计算梯度，这应该很容易计算!由于这篇文章的另一个答案已经指出了您代码中的问题，因此我不再重复。