Python:以数字方式查找积分的主值

Question

我正在使用 python 以数值方式求解积分:

其中 a(x) 可以取任何值； [-1;1] 的正数、负数、内部或外部，eta 是无穷小的正量。有第二个外积分改变了a(x)的值

我正在尝试使用 Sokhotski–Plemelj theorem 解决这个问题:

然而，这涉及确定原则值，我在 python 中找不到任何方法。我知道它是在 Matlab 中实现的，但有谁知道在 python 中确定主值的库或其他方法(如果存在主值)？

Answer 1

您可以使用 sympy 直接计算积分。它的 eta->0 的实部是主值:

from sympy import *
x, y, eta = symbols('x y eta', real=True)
re(integrate(1/(x - y + I*eta), (x, -1, 1))).simplify().subs({eta: 0})
# -> log(Abs(-y + 1)/Abs(y + 1))

Matlab 的符号工具箱 int 给你同样的结果，当然(我不知道 Matlab 中与此相关的其他相关工具——如果你知 Prop 体的请说明)。

您询问了主值的数值计算。答案是，如果您只有一个函数 f(y)，您不知道其分析形式或行为，通常不可能用数值计算它们。您需要知道诸如被积函数的极点在哪里以及它们的顺序之类的事情。

另一方面，如果您知道积分的形式为 f(y)/(y - y_0)，则 scipy.integrate.quad 可以计算主体对您的值(value)，例如:

import numpy as np
from scipy import integrate, special

# P \int_{-1}^1 dx 1/(x - wvar) * (1 + sin(x))
print(integrate.quad(lambda x: 1 + np.sin(x), -1, 1, weight='cauchy', wvar=0))
# -> (1.8921661407343657, 2.426947531830592e-13)

# Check against known result
print(2*special.sici(1)[0])
# -> 1.89216614073

参见 here了解详情。