python - 当提供一个空列表时，itertools.product() 应该产生什么？

Question

我想这是一个学术问题，但第二个结果对我来说没有意义。它不应该像第一个一样彻底空虚吗？这种行为的理由是什么？

from itertools import product

one_empty = [ [1,2], [] ]
all_empty = []

print [ t for t in product(*one_empty) ]  # []
print [ t for t in product(*all_empty) ]  # [()]

更新

感谢所有的回答——信息量很大。

维基百科对 Nullary Cartesian Product 的讨论提供明确的声明:

The Cartesian product of no sets ... is the singleton set containing the empty tuple.

下面是一些代码，您可以使用这些代码来完成富有洞察力的 answer from sth :

from itertools import product

def tproduct(*xss):
    return ( sum(rs, ()) for rs in product(*xss) )

def tup(x):
    return (x,)

xs = [ [1, 2],     [3, 4, 5]       ]
ys = [ ['a', 'b'], ['c', 'd', 'e'] ]

txs = [ map(tup, x) for x in xs ]  # [[(1,), (2,)], [(3,), (4,), (5,)]]
tys = [ map(tup, y) for y in ys ]  # [[('a',), ('b',)], [('c',), ('d',), ('e',)]]

a = [ p for p in tproduct( *(txs + tys) )                   ]
b = [ p for p in tproduct( tproduct(*txs), tproduct(*tys) ) ]

assert a == b

Answer 1

从数学的角度来看，任何元素的乘积都应该产生运算的中性元素product，无论它是什么。

例如，对于整数，乘法的中性元素是 1，因为 1 ⋅ a = a 对于所有整数 a。所以整数的空乘积应该是 1。当实现一个返回数字列表的乘积的 python 函数时，这种情况自然会发生:

def iproduct(lst):
  result = 1
  for i in lst:
    result *= i
  return result

为了使用此算法计算出正确的结果，result 需要用1 进行初始化。当在空列表上调用该函数时，这会导致返回值 1。

这个返回值对于函数的用途来说也是非常合理的。有了一个好的乘积函数，无论您是先连接两个列表然后构建元素的乘积，还是先构建两个单独列表的乘积然后将结果相乘都没有关系:

iproduct(xs + ys) == iproduct(xs) * iproduct(ys)

如果 xs 或 ys 为空，则仅在 iproduct([]) == 1 时有效。

现在迭代器上的 product() 更复杂。同样，从数学的角度来看，product([]) 应该返回该操作的中性元素，无论它是什么。它不是 []，因为 product([], xs) == []，而对于中性元素 product([], xs) == xs 应该成立。不过，事实证明 [()] 也不是中性元素:

>>> list(product([()], [1,2,3]))
[((), 1), ((), 2), ((), 3)]

事实上，product() 根本不是一个很好的数学乘积，因为上面的等式不成立:

product(*(xs + ys)) != product(product(*xs), product(*ys))

product 的每个应用程序都会生成一个额外的元组层，没有办法解决这个问题，因此甚至不可能有真正的中性元素。 [()] 非常接近，它没有添加或删除任何元素，它只是为每个元素添加一个空元组。

[()]实际上是这个稍微调整的乘积函数的中性元素，它只对元组列表进行操作，但不会在每个应用程序上添加额外的元组层:

def tproduct(*xss):
  # the parameters have to be lists of tuples
  return (sum(rs, ()) for rs in product(*xss))

对于这个函数，上面的乘积方程成立:

def tup(x): return (x,)
txs = [map(tup, x) for x in xs]
tys = [map(tup, y) for y in ys]
tproduct(*(txs + tys)) == tproduct(tproduct(*txs), tproduct(*tys))

通过将输入列表打包成元组的额外预处理步骤，tproduct() 给出与 product() 相同的结果，但从数学角度来看表现更好看法。它的中性元素也是 [()],

所以 [()] 作为这种列表乘法的中性元素是有一定意义的。即使它不完全适合 product() 它也是此函数的一个不错的选择，因为它允许定义 tproduct() 而无需引入特殊的空输入的情况。