python - 在非常具体的约束下生成随机数

Question

我面临以下编程问题。我需要生成 n (a, b) 元组，所有 a 的总和是给定的 A 和所有 b 的总和是给定的 B 并且对于每个元组，a/b 的比率在 范围内>(c_min，c_max)。 A/B 也在同一范围内。我还试图确保除了约束引入的结果之外没有任何偏差，并且 a/b 值或多或少均匀分布在给定范围内。

一些说明和元约束:

给出了
• A、B、c_min 和c_max。
• 比率 A/B 在 (c_min, c_max) 范围内。如果问题是在给定其他约束的情况下找到解决方案，则必须如此。
• a 和 b 是 >0 且非整数。

我正在尝试用 Python 实现它，但非常感谢任何语言(包括英语)的想法。

Answer 1

我们寻找满足 a_i 和 b_i 的元组

• (a_1, ... a_n) 和 (b_1, ... b_n) 具有在指数排列下不变的分布(您称之为“无偏”)
• 比率 a_i/b_i 在 [cmin, cmax] 上均匀分布
• sum(a_i) = A, sum(b_i) = B

如果 c_min 和 c_max 条件不是太差(即它们彼此不是很接近)，并且 n 不是很大，以下作品:

• “均匀地”生成 a_i 使得 sum a_i = A:
  • 从某些分布(例如均匀分布)中抽取 n 个样本 aa_i (i = 1..n)
  • 将它们除以它们的总和并乘以 A:a_i = A * aa_i/sum(aa_i) 具有所需的属性。
• 生成 b_i 使得 sum b_i = B 用同样的方法。
• 如果存在 i 使得 a_i/b_i 不在区间 [cmin, cmax] 中，丢弃所有 a_i 和 b_i 并从头开始重试。

它不能与n 很好地扩展，因为a_i 和b_i 的集合满足约束随着 n 的增加，变得越来越窄(因此您拒绝了更多候选人)。

老实说，我没有看到任何其他简单的解决方案。如果 n 变大并且 cmin ~ cmax，那么你将不得不使用大锤(例如 MCMC)从你的分布中生成样本，除非我们做了一些技巧没看到。

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如果你真的想使用 MCMC 算法，请注意你可以将 cmin 更改为 cmin * B/A(对于 cmax 也是如此)并假设 A == B == 1。然后问题是统一绘制两个单位 n-单纯形 (u_1...u_n, v_1...v_n) 的乘积，使得

u_i / v_i \in [cmin, cmax].

所以你必须对两个单位 n-单纯形与密度的乘积使用 MCMC 算法(Metropolis-Hastings 似乎更适合)

f(u_1, ..., u_n, v_1, ..., v_n) = \prod indicator_{u_i/v_i \in [cmin, cmax]}

这绝对可行(尽管涉及)。