c - 理解定点运算

Question

我正在努力解决如何对不同精度的定点数执行算术运算。我读过the paper by R. Yates ，但我还是迷路了。在下文中，我使用 Yates 的表示法，其中 A(n,m) 指定具有 n 整数位的带符号定点格式，m 小数位，n + m + 1 位。

小问题:A(a,b)*A(c,d) 和 A( a,b)+A(c,d) 执行时 a != c 和 b != d?

长问题:在我的 FFT 算法中，我生成了一个随机信号，其值介于 -10V 和 10V 之间，有符号输入(输入)被缩放到 A(15,16)，旋转因子 (tw) 缩放为 A(2,29)。两者都存储为 int。像这样:

float temp = (((float)rand() / (float)(RAND_MAX)) * (MAX_SIG - MIN_SIG)) + MIN_SIG;
int in_seq[i][j] = (int)(roundf(temp *(1 << numFracBits))); 

旋转因子也是如此。

现在我需要执行

1. res = a*tw
   问题:
   a)我该如何实现？
   b) res 的大小应该是 64 位吗？
   c) 因为我知道 a 和 tw 的范围，所以我可以将“res”设为 A(17,14) 吗？如果是，我是否应该将 a*tw 缩放 2^14 以在 res 中存储正确的值？

2. a + res
   问题:
   a)这两个不同Q格式的数字如何相加？
   b)如果没有，我该如何操作？

Answer 1

也许举个例子最简单。

假设您要添加两个数字，一个格式为 A(3, 5) , 另一个格式为 A(2, 10) .

您可以通过将两个数字转换为“通用”格式来实现 - 也就是说，它们的小数部分应该具有相同的位数。

保守的做法是选择更多的位数。即，将第一个数字转换为A(3, 10)将它左移 5 位。然后，添加第二个数字。

加法的结果具有较大格式的范围，加上 1 位。在我的示例中，如果您添加 A(3, 10)和 A(2, 10) , 结果的格式为 A(4, 10) .

我称此为“保守”方式，因为您不会丢失信息 - 它保证结果可以定点格式表示，而不会丢失精度。但是，在实践中，您会希望对计算结果使用较小的格式。为此，请考虑以下想法:

1. 您可以使用不太准确的格式作为您的常用表示形式。在我的示例中，您可以将 second 数字转换为 A(2, 5)通过将整数右 移动 5 位。这会损失精度，通常这种精度损失不会有问题，因为无论如何您都会向它添加一个不太精确的数字。
2. 结果的整数 部分可以少使用 1 位。在应用中，经常会出现结果不能太大的情况。在这种情况下，您可以少分配 1 位来表示它。您可能想检查结果是否太大，并且 clamp它达到所需的范围。

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现在，关于乘法。

可以将两个定点数直接相乘 - 它们可以是任何格式。结果的格式是“输入格式的总和”——所有部分相加——整数部分加 1。在我的示例中，乘以 A(3, 5)与 A(2, 10)给出格式为 A(6, 15) 的数字.这是一个保守的规则 - 输出格式能够在不损失精度的情况下存储结果，但是在应用程序中，几乎总是您想要降低输出的精度，因为它的位数太多了。

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在您的情况下，所有数字的位数都是 32，您可能希望以所有中间结果都具有 32 位的方式失去精度。

例如，乘以A(17, 14)与 A(2, 29)给出 A(20, 43) - 需要 64 位。您可能应该从中删除 32 位，然后丢弃其余部分。结果的范围是多少？如果你的旋转因子是一个最大为 4 的数字，则结果可能受 2^19 的限制(需要上面的保守数字 20 来适应将 -1 << 31 乘以 -1 << 31 的边缘情况 - 几乎总是值得拒绝这个边缘-案例)。

所以使用A(19, 12)对于您的输出格式，即从输出的小数部分中删除 31 位。

所以，而不是

res = a*tw;

你可能想要

int64_t res_tmp = (int64_t)a * tw;      // A(20, 43)
if (res_tmp == ((int64_t)1 << 62)) // you might want to neglect this edge case
    --res_tmp;                          // A(19, 43)
int32_t res = (int32_t)(res_tmp >> 31); // A(19, 12)