python - 如何在给定 Python 分布样本列表的情况下计算值的概率？

Question

不确定这是否属于统计学，但我正在尝试使用 Python 来实现这一点。我基本上只有一个整数列表:

data = [300,244,543,1011,300,125,300 ... ]

我想知道给定这些数据值出现的概率。我使用 matplotlib 绘制了数据的直方图并获得了这些:

在第一张图中，数字表示序列中字符的数量。在第二张图中，它是以毫秒为单位的测量时间量。最小值大于零，但不一定有最大值。这些图表是使用数百万个示例创建的，但我不确定我是否可以对分布做出任何其他假设。鉴于我有几百万个值示例，我想知道新值的概率。在第一张图中，我有几百万个不同长度的序列。例如，想知道 200 长度的概率。

我知道对于连续分布，任何精确点的概率都应该为零，但是给定一系列新值，我需要能够说出每个值的可能性有多大。我查看了一些 numpy/scipy 概率密度函数，但我不确定在运行 scipy.stats.norm.pdf(data) 之类的东西后应该选择哪个或如何查询新值。似乎不同的概率密度函数将以不同的方式拟合数据。鉴于直方图的形状，我不确定如何决定使用哪个。

Answer 1

由于您似乎没有考虑特定的分布，但您可能有很多数据样本，因此我建议使用非参数密度估计方法。您描述的一种数据类型(以毫秒为单位的时间)显然是连续的，并且您已经提到的直方图是连续随机变量的概率密度函数(PDF)非参数估计的一种方法。但是，正如您将在下面看到的，Kernel Density Estimation (KDE)可以更好。您描述的第二种数据类型(序列中的字符数)是离散类型的。在这里，核密度估计也很有用，可以看作是一种平滑技术，适用于离散变量的所有值没有足够数量的样本的情况。

估计密度

下面的示例展示了如何首先从 2 个高斯分布的混合中生成数据样本，然后应用核密度估计来找到概率密度函数:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.mlab as mlab
from sklearn.neighbors import KernelDensity

# Generate random samples from a mixture of 2 Gaussians
# with modes at 5 and 10
data = np.concatenate((5 + np.random.randn(10, 1),
                       10 + np.random.randn(30, 1)))

# Plot the true distribution
x = np.linspace(0, 16, 1000)[:, np.newaxis]
norm_vals = mlab.normpdf(x, 5, 1) * 0.25 + mlab.normpdf(x, 10, 1) * 0.75
plt.plot(x, norm_vals)

# Plot the data using a normalized histogram
plt.hist(data, 50, normed=True)

# Do kernel density estimation
kd = KernelDensity(kernel='gaussian', bandwidth=0.75).fit(data)

# Plot the estimated densty
kd_vals = np.exp(kd.score_samples(x))
plt.plot(x, kd_vals)

# Show the plots
plt.show()

这将产生以下图表，其中真实分布显示为蓝色，直方图显示为绿色，使用 KDE 估计的 PDF 显示为红色:

如您所见，在这种情况下，直方图近似的 PDF 不是很有用，而 KDE 提供了更好的估计。但是，如果数据样本数量较多且 bin 大小选择得当，直方图也可能产生良好的估计。

对于 KDE，您可以调整的参数是内核 和带宽。您可以将内核视为估计 PDF 的构建 block ，Scikit Learn 中提供了多个内核函数:高斯、tophat、epanechnikov、指数、线性、余弦。更改带宽允许您调整偏差方差权衡。更大的带宽会导致偏差增加，如果您的数据样本较少，这很好。较小的带宽会增加方差(估计中包含的样本较少)，但当有更多样本可用时会给出更好的估计。

计算概率

对于 PDF，概率是通过计算一系列值的积分获得的。正如您所注意到的，这将导致特定值的概率为 0。

Scikit Learn 似乎没有用于计算概率的内置函数。但是，很容易估计 PDF 在一定范围内的积分。我们可以通过在范围内多次评估 PDF 并将获得的值乘以每个评估点之间的步长来求和。在下面的示例中，N 个样本是通过步骤 step 获得的。

# Get probability for range of values
start = 5  # Start of the range
end = 6    # End of the range
N = 100    # Number of evaluation points 
step = (end - start) / (N - 1)  # Step size
x = np.linspace(start, end, N)[:, np.newaxis]  # Generate values in the range
kd_vals = np.exp(kd.score_samples(x))  # Get PDF values for each x
probability = np.sum(kd_vals * step)  # Approximate the integral of the PDF
print(probability)

请注意，kd.score_samples 生成数据样本的对数似然。因此，需要np.exp来获得似然。

可以使用内置的 SciPy 集成方法执行相同的计算，这将给出更准确的结果:

from scipy.integrate import quad
probability = quad(lambda x: np.exp(kd.score_samples(x)), start, end)[0]

例如，对于一次运行，第一种方法计算的概率为 0.0859024655305，而第二种方法产生的概率为 0.0850974209996139。