c - GSL 特征值顺序

Question

我正在使用 GSL 库中的函数 gsl_eigen_nonsymm 和/或 gsl_eigen_symm 来查找 L x L 矩阵的特征值 M[i][j]这也是时间的函数 t = 1,....,N所以我有 M[i][j][t]为了获得每个 t 的特征值，我分配了一个 L x L 矩阵 E[i][j] = M[i][j][t]并为每个 t 对角化它。

问题是程序在一些迭代后以不同的顺序给出了特征值。例如 (L = 3) 如果在 t = 0我得到eigen[t = 0] = {l1,l2,l3}(0)在 t = 1我可能会得到eigen[t = 1] = {l3,l2,l1}(1)虽然我需要始终拥有 {l1,l2,l3}(t)更具体地说:考虑矩阵 M (t) ) = {{0,t,t},{t,0,2t},{t,t,0}}特征值将始终(近似地)l1 = -1.3 t , l2 = -t , l3 = 2.3 t当我试图将它对角化(使用下面的代码)时，我多次交换了特征值的结果。有办法防止吗？我不能只按大小对它们进行排序，我需要它们始终保持相同的顺序(无论它是什么)先验。 (下面的代码只是一个例子来说明我的问题)

编辑:我不能只对它们进行排序，因为先验的我不知道它们的值(value)，也不知道它们是否可靠地具有像 l1<l2<l3 这样的结构每次由于统计波动，这就是为什么我想知道是否有一种方法可以使算法始终以相同的方式运行，以便特征值的顺序始终相同，或者是否有一些技巧可以实现.

为了更清楚起见，我将尝试重新描述我在此处提出的玩具问题。我们有一个依赖于时间的矩阵，我可能天真地希望得到 lambda_1(t).....lambda_N(t) ，相反，我看到的是该算法经常在不同时间交换特征值，所以如果在 t = 1 I've got ( lambda_1,lambda_2,lambda_3 )(1) at time t = 2 (lambda_2,lambda_1,lambda_3)(2)因此，例如，如果我想了解 lambda_1 如何随时间演化，我就做不到，因为该算法在不同时间混合了特征值。下面的程序只是我的问题的一个分析玩具示例:下面矩阵的特征值为 l1 = -1.3 t , l2 = -t , l3 = 2.3 t但程序可能会给我一个输出 (-1.3,-1,2.3)(1), (-2,-2.6,4.6)(2), etc如前所述，我想知道是否有一种方法可以使程序始终以相同的方式对特征值进行排序，而不管它们的实际数值如何，以便我始终得到 (l1,l2,l3) 组合。我希望现在更清楚了，如果还不清楚，请告诉我。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <gsl/gsl_linalg.h>
#include <gsl/gsl_eigen.h>
#include <gsl/gsl_sort_vector.h>

main() {
    int L = 3, i, j, t;
    int N = 10;
    double M[L][L][N];
    gsl_matrix *E = gsl_matrix_alloc(L, L);
    gsl_vector_complex *eigen = gsl_vector_complex_alloc(L);
    gsl_eigen_nonsymm_workspace *  w = gsl_eigen_nonsymm_alloc(L);

    for(t = 1; t <= N; t++) {
        M[0][0][t-1] = 0;
        M[0][1][t-1] = t;
        M[0][2][t-1] = t;
        M[1][0][t-1] = t;
        M[1][1][t-1] = 0;
        M[1][2][t-1] = 2.0 * t;
        M[2][1][t-1] = t;
        M[2][0][t-1] = t;
        M[2][2][t-1] = 0;

        for(i = 0; i < L; i++) {
            for(j = 0; j < L; j++) {
                gsl_matrix_set(E, i, j, M[i][j][t - 1]);
            }
        }

        gsl_eigen_nonsymm(E, eigen, w); /*diagonalize E which is M at t fixed*/
        printf("#%d\n\n", t);

        for(i = 0; i < L; i++) {
            printf("%d\t%lf\n", i, GSL_REAL(gsl_vector_complex_get(eigen, i)))
        }
        printf("\n");
   }
}

Answer 1

您的问题毫无意义。特征值对它们没有任何固有的顺序。在我看来，您想定义 M_t 的特征值类似于 L_1(M_t),..., L_n(M_t)，然后跟踪它们如何随时间变化。假设您驱动 M_t 的过程是连续的，那么您的特征值也是连续的。换句话说，当您对 M_t 进行小的更改时，它们不会发生显着变化。因此，如果您通过强制执行 L_1 < L_2... < L_n 来定义排序，则此排序不会因 t 的微小变化而改变。当您有两个特征值交叉时，您需要决定如何分配更改。如果您的“随机波动”大于特征值之间的典型距离，那么这基本上是不可能的。

这是跟踪特征向量的另一种方法，可能会更好。为此，假设您的特征向量是 v_i，其分量为 v_ij。你要做的是首先“规范化”你的特征向量，使 v_i1 是非负的，即适本地翻转每个特征向量的符号。这将通过对每个特征向量的第一个分量 v_i1 的排序来定义特征值的排序。这样您仍然可以跟踪相互交叉的特征值。但是，如果您的特征向量在第一个组件上交叉，您就有麻烦了。