Python 特征向量 : differences among numpy. linalg、scipy.linalg 和 scipy.sparse.linalg

Question

Scipy 和 Numpy 在它们之间具有三个不同的函数来查找给定方阵的特征向量，它们是:

1. numpy.linalg.eig(a)
2. scipy.linalg.eig(a) , 和
3. scipy.sparse.linalg.eig(A, k)

特别关注我在最后两个中删除的所有可选参数都保留默认值并且 a/A 是实值的情况，我很好奇这三者之间的区别，这些区别在文档中是模棱两可的——尤其是:

• 为什么 (3) 会提示它找不到所有个特征向量？
• 为什么必须其他两个计算所有解决方案 - 为什么他们不采用 k 参数？
• (1) 有一条注释说特征值没有按特定顺序返回； (3) 有一个可选参数来控制顺序。 (2) 是否对此做出任何保证？
• (3) 是否假设 A 是稀疏的？ (从数学上讲，而不是表示为 scipy 稀疏矩阵)如果这个假设不成立，它会不会效率低下，甚至给出错误的结果？
• 在进行选择时，我还应该考虑其他因素吗？

Answer 1

第三个的特殊行为与 Lanczos algorithm 有关。 ，这对稀疏矩阵非常有效。 scipy.sparse.linalg.eig 的文档说它使用 ARPACK 的包装器，ARPACK 又使用“隐式重新启动的 Arnoldi 方法 (IRAM)，或者在对称矩阵的情况下，相应的变体Lanczos 算法。” (1) .

现在，Lanczos 算法具有对大特征值效果更好的特性(实际上，它使用最大特征值):

In practice, this simple algorithm does not work very well for computing very many of the eigenvectors because any round-off error will tend to introduce slight components of the more significant eigenvectors back into the computation, degrading the accuracy of the computation. (2)

所以，虽然 Lanczos 算法只是一种近似，但我猜想其他两种方法使用算法来找到精确特征值——而且看起来所有特征值，这可能取决于所使用的算法，也是。