c - 算法优化(质因数分解)

Question

在开始之前让我说:这不是家庭作业，只是简单、古老、有趣。

现在，我正试图想出一个算法来回答这个问题 1/x + 1/y = 1/n! .

正如您在上面的链接中看到的那样，作者只要求提示而不是实际答案，所以我也很乐意提出同样的要求。

我按照 one of the answers 的建议简化了表达式，直到 (x - n!)(y - n!) = (n!)^2 , 那时我明白了 (x,y) 对的组合数与 n!^2 的除数数相同(如果我在这里错了请纠正我)。

因此，正如 accepted answer 所建议的那样，我正在尝试计算每个组成 N!^2 的素数的所有因数的乘积。

我使用 trial division 在 C 中编写了一些代码分解 N!^2 和 Sieve of Eratosthenes得到所有素数直到 sqrt(N!^2)。

现在的问题是内存，我试过 N = 15，我的 Mac(四核 6GB 内存)差点没电了。问题是内存。所以我添加了一些 printf 并尝试使用 N=11:

Sieve of Eratosthenes took 13339.910000 ms and used 152 mb of memory
n= 11; n!^2 = 1593350922240000; d = 6885
[2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,5,5,5,5,7,7,11,11]

这个列表是 N!^2 的所有质因数(当然除了 1 和 N!^2)。

我想要一些关于如何最小化内存消耗和可能的优化的提示。

下面的代码，这只是一个快速实验，所以我相信它可以优化。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <strings.h>
#include <sys/time.h>
#include <assert.h>

//Linked List
struct node {
    struct node * next;
    long val;
};

void addValue(struct node *list, long val) {
    struct node *n = list;

    if (n->val == -1) {
        n->val = val;
        return;
    }

    while (n->next) {
        n = n->next;
    }

    struct node *newNode = malloc(sizeof(struct node));
    newNode->val = val;
    newNode->next = NULL;
    n->next = newNode;
}

void freeLinkedList(struct node *list) {
    struct node *c = list;
    if (!c) return;
    struct node *n = c->next;
    free(c);
    freeLinkedList(n);
}

void printList(struct node *list) {
    struct node *n = list;
    printf("[");
    while (n) {
        printf("%ld", n->val);
        n = n->next;
        if (n) {
            printf(",");
        }
    }
    printf("]\n");
}
//-----------


int fac(int n) {
    if (n == 1) return 1;
    return fac(n-1)*n;
}

//Sieve of Eratosthenes
int sieve_primes(long limit, long **list) {
    struct timeval t1;
    struct timeval t2;
    double elapsedTime = 0;
    gettimeofday(&t1, NULL);

    assert(limit > 0);

    //Create a list of consecutive integers from 2 to n: (2, 3, 4, ..., n).
    long arrSize = limit-1;
    long *arr = malloc(sizeof(long)*arrSize);

    long c = 2;
    for (long i = 0; i < arrSize; i++) {
        arr[i] = c++;
    }   
    assert(arr[arrSize-1] == limit);


    for (long i = 0; i < arrSize; i++) {
        //Let p be equal to the first number not crossed
        long p = arr[i];    
        if (p == 0) continue;

        //Starting from p, count up in increments of p and mark each of these numbers greater than p itself in the list. 
        for (long f = p+p; f < arrSize; f+=p) {
            arr[f] = 0;
        }       
    }

    *list = arr;


    gettimeofday(&t2, NULL);

    elapsedTime = (t2.tv_sec - t1.tv_sec) * 1000.0;      // sec to ms
    elapsedTime += (t2.tv_usec - t1.tv_usec) / 1000.0;   // us to ms
    printf("Sieve of Eratosthenes took %f ms and used %lu mb of memory\n",elapsedTime, (arrSize * sizeof(int))/1024/1024);
    return arrSize;
}

void trial_division(struct node* list, long n) {    if (n == 1) {
        addValue(list, 1);
        return;
    }
    long *primes;
    long primesSize = sieve_primes(sqrt(n), &primes);   

    struct timeval t1;  
    struct timeval t2;
    double elapsedTime = 0;
    gettimeofday(&t1, NULL);
    for (long i = 0; i < primesSize; i++) {
        long p = primes[i];
        if (p == 0) continue;
        if (p*p > n) break;
        while (n % p == 0) {
            addValue(list, p);
            n/=p;
        }       
    }
    if (n > 1) {
        addValue(list, n);
    }
    free(primes);
}

int main(int argc, char *argv[]) {
    struct node *linkedList = malloc(sizeof(struct node));
    linkedList->val = -1;
    linkedList->next = NULL;


    long n = 11;
    long nF = fac(n);
    long nF2 = nF*nF;
    trial_division(linkedList, nF2);            

    long multOfAllPrimeFactors = 1;
    struct node *c = linkedList;
    while (c) {
        long sumOfVal = 2;
        long val = c->val;              
        c = c->next;
        while(c) {
            long val2 = c->val;
            if (val == val2) {
                sumOfVal++;
                c = c->next;
            } else break;           
        }
        multOfAllPrimeFactors*=sumOfVal;
    }       

    printf("n= %ld; n!^2 = %ld; d = %ld\n", n,nF2, multOfAllPrimeFactors);
    printList(linkedList);  

    freeLinkedList(linkedList);

}

编辑:

作为示例，我将向您展示计算初始方程的所有可能正整数解的方法:

3!^2 = 36 = (3^2*2^2*1^0)

所以丢番图方程有 (1+2)(1+2)(1+0)=9 个可能的正整数解。如果计算负整数，则加倍。我正在使用 WolframAlpha可以肯定。

编辑 2:

我想我刚刚发现“阶乘是什么”，我得到了这个非常有趣的输出:

3! = [2,3]
3!^2 = [2,2,3,3]
3!^3 = [2,2,2,3,3,3]
3!^4 = [2,2,2,2,3,3,3,3]

谢谢:D

Answer 1

这里的技巧是准确识别阶乘 N! 是什么。它是从 1 到 N 的所有数字的乘积。这已经是向前迈出的一大步。

所以您需要做的就是对从 1 到 N 的每个数字进行质因数分解。

从这个意义上讲，您不需要筛选到 N!。相反，只需筛选到 sqrt(N)。剩下的就是合并所有主要因素。