c - 如何找出C中两条共面线的交点

Question

我有两条位于同一平面上的 3D 线。 line1 由一个点 (x1, y1, z1) 及其方向 vector (a1, b1, c1) 定义，而 line2 由一个点 (x2, y2, z2) 及其方向 vector (a2, b2, c2) 定义。那么两条直线的参数方程为

x = x1 + a1*t;         x = x2 + a2*s;
y = y1 + b1*t;         y = y2 + b2*s;
z = z1 + c1*t;         z = z2 + c2*s;

如果两个方向 vector 都不为零，我们可以很容易地找到相交节点的位置，方法是使上面等式的右边相等并求解t和s 来自三个中的两个。但是，a1 b1 c1 a2 b2 c2 可能并非全为非零，因此我无法以相同的方式求解这些方程。我目前的想法是逐案处理这个问题，比如

case1: a1 = 0, others are nonzero
case2: a2 = 0, others are nonzero
case3: b1 = 0, others are nonzero
...

但是这样一来案例太多了，实现起来会很乱。有什么好的方法可以解决这个问题吗？任何引用？非常感谢!

Answer 1

将其视为 vector 方程更为实用。点 . 是标量积，A,n,B,m 是描述直线的 vector 。点 A 位于方向 n 的第一条线上。方向已标准化:n.n=1 和 m.m=1。交点 C 是这样的:

 C=A+nt=B+ms

其中 t 和 s 是要计算的标量参数。

因此 (.n) :

A.n+ t=B.n+m.n s
t= (B-A).n+m.n s

和(.m):

 A.m+n.m t=B.m+ s
 A.m+n.m (B-A).n+(m.n)^2 s=B.m+ s
 n.m(B-A).n+(A-B).m=(1-(m.n)^2).s

由于 n.n=m.m=1 并且 n 和 m 没有对齐，(m.n)^2<1 :

 s=[n.m(B-A).n+(A-B).m]/[1-(m.n)^2]
 t= (B-A).n+m.n s