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假设我有:
float a = 3 // (gdb) p/f a = 3
float b = 299792458 // (gdb) p/f b = 299792448
然后
float sum = a + b // (gdb) p/f sum = 299792448
我认为这与尾数移动有关。有人可以解释到底发生了什么吗? 32位
最佳答案
32-bit floats只有 24 位精度。因此, float 不能准确地包含 b
- 它通过设置一些指数和尾数以尽可能接近 1 来尽力而为。 (最接近源中常量的可表示float
;默认的 FP 舍入模式是“nearest”。)
然后当您考虑 b
和 a
的浮点表示,并尝试将它们相加时,加法运算将移动小数 a
的尾数向下,因为它试图匹配 b
的指数,直到值 (3) 从末尾掉下来,剩下 0。因此,加法运算符结束将浮点零加到 b
。 (这是一种过度简化;如果存在部分尾数重叠,低位仍会影响舍入。)
一般情况下,无限精度加法结果必须用当前的 FP 舍入模式舍入到最接近的 float
,而这恰好等于 b
。
另见 Why adding big to small in floating point introduce more error?对于数字发生一些变化但舍入误差较大的情况,例如使用十进制有效数字作为帮助理解二进制 float 舍入的一种方式。
脚注 1:对于这么大的数字,最近的两个 float 相距 32。现代铿锵 warns关于将源中的 int
舍入为表示不同值的 float
。除非您已经将其写为 float 或 double 常量(如 299792458.0f
),在这种情况下舍入会在没有警告的情况下发生。
这就是为什么最小的 a
值会将 sum
向上舍入为 299792480.0f
而不是向下舍入为 299792448.0f
大约是 16.000001 的 b
值,四舍五入为 299792448.0f
。可运行示例 on the Godbolt compiler explorer .
默认的 FP 舍入模式舍入到最接近的偶数尾数作为平局。 16.0 刚好走到一半,因此四舍五入到 0x4d8ef3c2 的位模式,而不是 0x4d8ef3c3。 https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html .任何略大于 16 的值都向上舍入,因为舍入关心的是无限精度的结果。它不会实际上在添加之前移出位,这是一种过度简化。最接近 16.000001 的 float 仅在其尾数中设置了低位,位模式 0x41800001。它实际上大约是 1.0000001192092896 x 24,或 16.0000019... 小得多,它会四舍五入到恰好 16.0f 并且 <= 1 ULP(单位在最后一位) b
,这不会改变 b
,因为 b
的尾数已经是偶数。
如果您通过使用 double a,b
避免提前舍入,您可以添加的最小值向上舍入 299792480.0f
而不是向下舍入到 299792448.0f
当你执行 float sum = a+b
时大约是 a=6.0000001;
,这是有道理的,因为整数值 ...58 保持为 。 ..58.0
而不是向下舍入为 ...48.0f
,即 float b = ...58
中的舍入误差为 -10,因此 a
可以小得多。
不过这次有两个舍入步骤,a+b
四舍五入到最接近的 double
如果加法不精确,那么 double
四舍五入为 float
。 (或者如果 FLT_EVAL_METHOD
== 2,就像 C 在 32 位 x86 上编译 80 位 x87 float 一样,+
结果将四舍五入为 80 位 long double
,然后到 float
。)
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