c - 为什么将小 float 添加到大 float 只会降低小 float ？

Question

假设我有:

float a = 3            // (gdb) p/f a   = 3
float b = 299792458    // (gdb) p/f b   = 299792448

然后

float sum = a + b      // (gdb) p/f sum = 299792448

我认为这与尾数移动有关。有人可以解释到底发生了什么吗？ 32位

Answer 1

32-bit floats只有 24 位精度。因此， float 不能准确地包含 b - 它通过设置一些指数和尾数以尽可能接近 ¹ 来尽力而为。 (最接近源中常量的可表示float；默认的 FP 舍入模式是“nearest”。)

然后当您考虑 b 和 a 的浮点表示，并尝试将它们相加时，加法运算将移动小数 a 的尾数向下，因为它试图匹配 b 的指数，直到值 (3) 从末尾掉下来，剩下 0。因此，加法运算符结束将浮点零加到 b。 (这是一种过度简化；如果存在部分尾数重叠，低位仍会影响舍入。)

一般情况下，无限精度加法结果必须用当前的 FP 舍入模式舍入到最接近的 float，而这恰好等于 b。

另见 Why adding big to small in floating point introduce more error?对于数字发生一些变化但舍入误差较大的情况，例如使用十进制有效数字作为帮助理解二进制 float 舍入的一种方式。

---

脚注 1:对于这么大的数字，最近的两个 float 相距 32。现代铿锵 warns关于将源中的 int 舍入为表示不同值的 float。除非您已经将其写为 float 或 double 常量(如 299792458.0f)，在这种情况下舍入会在没有警告的情况下发生。

这就是为什么最小的 a 值会将 sum 向上舍入为 299792480.0f 而不是向下舍入为 299792448.0f 大约是 16.000001 的 b 值，四舍五入为 299792448.0f。可运行示例 on the Godbolt compiler explorer .

默认的 FP 舍入模式舍入到最接近的偶数尾数作为平局。 16.0 刚好走到一半，因此四舍五入到 0x4d8ef3c2 的位模式，而不是 0x4d8ef3c3。 https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html .任何略大于 16 的值都向上舍入，因为舍入关心的是无限精度的结果。它不会实际上在添加之前移出位，这是一种过度简化。最接近 16.000001 的 float 仅在其尾数中设置了低位，位模式 0x41800001。它实际上大约是 1.0000001192092896 x 2⁴，或 16.0000019... 小得多，它会四舍五入到恰好 16.0f 并且 <= 1 ULP(单位在最后一位) b，这不会改变 b，因为 b 的尾数已经是偶数。

---

如果您通过使用 double a,b 避免提前舍入，您可以添加的最小值向上舍入 299792480.0f 而不是向下舍入到 299792448.0f 当你执行 float sum = a+b 时大约是 a=6.0000001;，这是有道理的，因为整数值 ...58 保持为 。 ..58.0 而不是向下舍入为 ...48.0f，即 float b = ...58 中的舍入误差为 -10，因此 a 可以小得多。

不过这次有两个舍入步骤，a+b 四舍五入到最接近的 double 如果加法不精确，那么 double 四舍五入为 float。 (或者如果 FLT_EVAL_METHOD == 2，就像 C 在 32 位 x86 上编译 80 位 x87 float 一样，+ 结果将四舍五入为 80 位 long double，然后到 float。)