c - 我的 fma() 坏了吗？

Question

使用中double fma(double x, double y, double z);我希望非零 d在下面标有 '?' 的输出行中.它似乎只在内部使用 long double精度而不是指定的无限精度。

The fma functions compute (x × y) + z, rounded as one ternary operation: they compute the value (as if) to infinite precision and round once to the result format, according to the current rounding mode. §7.12.13.1 2 (my emphasis)

我的 fma() 也是如此坏了，或者我如何在代码或编译选项中错误地使用它？

#include <float.h>
#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
  // Invoking: Cygwin C Compiler
  // gcc -std=c11 -O0 -g3 -pedantic -Wall -Wextra -Wconversion -c -fmessage-length=0 
  //   -v -MMD -MP -MF"x.d" -MT"x.o" -o "x.o" "../x.c"

  printf("FLT_EVAL_METHOD %d\n", FLT_EVAL_METHOD);
  for (unsigned i = 20; i < 55; i++) {
    volatile double a = 1.0 + 1.0 / pow(2, i);
    volatile double b = a;
    volatile double c = a * b;
    volatile double d = fma(a, b, -c);
    volatile char *nz = ((i >= 27 && a != 1.0) == !d) ? "?" : "";
    printf("i:%2u a:%21.13a c:%21.13a d:%10a %s\n", i, a, c, d, nz);
  }
  return 0;
}

输出

FLT_EVAL_METHOD 2
i:20 a: 0x1.0000100000000p+0 c: 0x1.0000200001000p+0 d:    0x0p+0 
i:21 a: 0x1.0000080000000p+0 c: 0x1.0000100000400p+0 d:    0x0p+0 
i:22 a: 0x1.0000040000000p+0 c: 0x1.0000080000100p+0 d:    0x0p+0 
i:23 a: 0x1.0000020000000p+0 c: 0x1.0000040000040p+0 d:    0x0p+0 
i:24 a: 0x1.0000010000000p+0 c: 0x1.0000020000010p+0 d:    0x0p+0 
i:25 a: 0x1.0000008000000p+0 c: 0x1.0000010000004p+0 d:    0x0p+0 
i:26 a: 0x1.0000004000000p+0 c: 0x1.0000008000001p+0 d:    0x0p+0 
i:27 a: 0x1.0000002000000p+0 c: 0x1.0000004000000p+0 d:   0x1p-54 
i:28 a: 0x1.0000001000000p+0 c: 0x1.0000002000000p+0 d:   0x1p-56 
i:29 a: 0x1.0000000800000p+0 c: 0x1.0000001000000p+0 d:   0x1p-58 
i:30 a: 0x1.0000000400000p+0 c: 0x1.0000000800000p+0 d:   0x1p-60 
i:31 a: 0x1.0000000200000p+0 c: 0x1.0000000400000p+0 d:   0x1p-62 
i:32 a: 0x1.0000000100000p+0 c: 0x1.0000000200000p+0 d:    0x0p+0 ?
i:33 a: 0x1.0000000080000p+0 c: 0x1.0000000100000p+0 d:    0x0p+0 ?
i:34 a: 0x1.0000000040000p+0 c: 0x1.0000000080000p+0 d:    0x0p+0 ?
...
i:51 a: 0x1.0000000000002p+0 c: 0x1.0000000000004p+0 d:    0x0p+0 ?
i:52 a: 0x1.0000000000001p+0 c: 0x1.0000000000002p+0 d:    0x0p+0 ?
i:53 a: 0x1.0000000000000p+0 c: 0x1.0000000000000p+0 d:    0x0p+0 
i:54 a: 0x1.0000000000000p+0 c: 0x1.0000000000000p+0 d:    0x0p+0 

版本信息

gcc -v

Using built-in specs.
COLLECT_GCC=gcc
COLLECT_LTO_WRAPPER=/usr/lib/gcc/i686-pc-cygwin/5.3.0/lto-wrapper.exe
Target: i686-pc-cygwin
Configured with: /cygdrive/i/szsz/tmpp/gcc/gcc-5.3.0-5.i686/src/gcc-5.3.0/configure --srcdir=/cygdrive/i/szsz/tmpp/gcc/gcc-5.3.0-5.i686/src/gcc-5.3.0 --prefix=/usr --exec-prefix=/usr --localstatedir=/var --sysconfdir=/etc --docdir=/usr/share/doc/gcc --htmldir=/usr/share/doc/gcc/html -C --build=i686-pc-cygwin --host=i686-pc-cygwin --target=i686-pc-cygwin --without-libiconv-prefix --without-libintl-prefix --libexecdir=/usr/lib --enable-shared --enable-shared-libgcc --enable-static --enable-version-specific-runtime-libs --enable-bootstrap --enable-__cxa_atexit --with-dwarf2 --with-arch=i686 --with-tune=generic --disable-sjlj-exceptions --enable-languages=ada,c,c++,fortran,java,lto,objc,obj-c++ --enable-graphite --enable-threads=posix --enable-libatomic --enable-libcilkrts --enable-libgomp --enable-libitm --enable-libquadmath --enable-libquadmath-support --enable-libssp --enable-libada --enable-libjava --enable-libgcj-sublibs --disable-java-awt --disable-symvers --with-ecj-jar=/usr/share/java/ecj.jar --with-gnu-ld --with-gnu-as --with-cloog-include=/usr/include/cloog-isl --without-libiconv-prefix --without-libintl-prefix --with-system-zlib --enable-linker-build-id --with-default-libstdcxx-abi=gcc4-compatible
Thread model: posix
gcc version 5.3.0 (GCC) 

Answer 1

这是 Cygwin 的错。或者更准确地说，是它使用的 newlib C 库。它explicitly says它甚至不尝试获取 fma()仿真正确。

自 2015 年以来，GNU C 库对几乎所有 fma 变体都有正确的模拟。有关详细信息以及用于实现这一点的补丁，请参阅源软件错误 13304 .

如果效率不是问题，那么我会简单地使用例如

#if defined(__CYGWIN__) && !defined(__FMA__) && !defined(__FMA3__) && !defined(__FMA4__)
#define fma(x, y, z)  fma_emulation(x, y, z)

double fma_emulation(double x, double y, double z)
{
    /* One of the implementations linked above */
}
#endif

我个人根本不使用 Windows，但如果有人使用(使用 Windows 并需要 fma 仿真)，我建议他们尝试向上游推送补丁，并提供指向 GNU C library discussion on correct fma emulation 的链接。 .

我想知道的是，是否有可能只检查结果的低 M 位(在舍入中丢弃)以确定结果中 ULP 的正确值，并使用简单的 a×b 调整获得的结果+c 操作，使用 nextafter() ;而不是使用多精度算法来实现整个操作。

编辑:不，因为添加可能会溢出，丢弃一个额外的位作为丢弃部分的 MSB。仅出于这个原因，我们确实需要完成整个操作。另一个原因是，如果a×b和c有不同的符号，那么我们不是加法，而是从较大的量值中减去较小的量值(结果使用较大的符号)，这可能会导致较大的几个高位被清除，并且影响整个结果的哪些位在舍入中被丢弃。

但是，对于 IEEE-754 Binary64 double在 x86 和 x86-64 架构上，我相信使用 64 位(整数)寄存器和 128 位产品的 fma 仿真仍然是非常可行的。我将试验一种表示，其中 64 位寄存器中的低 2 位用于舍入决策位(LSB 是所有丢弃位的逻辑或)，53 位用于尾数，一个进位位，剩下 8未使用和忽略的高位。在将无符号整数尾数转换为(64 位) double 数时执行舍入。如果这些实验产生任何有用的东西，我将在这里描述它们。

初步发现: fma() 32 位系统上的仿真速度很慢。 387 FPU 上的 80 位东西在这里基本上没用，在 32 位系统上实现 53×53 位乘法(和位移)只是..不值得付出努力。 glibc fma()在我看来，链接到上面的仿真代码已经足够好了。

其他发现:处理非有限值是令人讨厌的。 (次正规数只是有点烦人，需要特殊处理(因为尾数中的隐式 MSB 为零。)如果三个参数中的任何一个是非有限的(无穷大或某种形式的 NaN)，则返回 a*b + c (未融合)是唯一明智的选择。处理这些情况需要额外的分支，这会减慢仿真速度。

最终决定:以优化方式(而不是使用 glibc 仿真中使用的多精度“肢体”方法)处理的案例数量大到足以使这种方法不值得付出努力。如果每个肢体是 64 位，则 a、b 和 c 中的每一个最多分布在 2 个肢体上，a×b 分布在三个肢体上。 (对于 32 位肢体，分别只有 3 个和 5 个肢体。)根据 a×b 和 c 是否具有相同或不同的符号，只有两种根本不同的情况需要处理——在不同符号的情况下，加法变成减法(从大到小，结果得到与大值相同的符号)。

简而言之，多精度方法更好。所需的实际精度是有界的，甚至不需要动态分配。如果可以有效地计算 a 和 b 的尾数的乘积，则多精度部分仅限于保持乘积和处理加法/减法。最终舍入可以通过将结果转换为 53 位尾数、指数和两个额外的低位来完成(较高的是舍入中丢失的最高有效位，而较低的是舍入中丢失的其余位的 OR舍入)。本质上，关键操作可以使用整数(或 SSE/AVX 寄存器)完成，从 55 位尾数到 double 的最终转换根据当前规则处理舍入。