c - 此代码如何从任何基数阶乘中找到尾随零的数量？

Question

下面的代码运行完美，但我希望有人向我解释它背后的数学原理。基本上，它是如何工作的？

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h>  /* atoi */

#define min(x, y) (((x) < (y)) ? (x) : (y))

int main(int argc, char* argv[])
{
   const int base = 16;
   int n,i,j,p,c,noz,k;

   n = 7;  /* 7! = decimal 5040 or 0x13B0  - 1 trailing zero */  
   noz = n;
   j = base;
   /* Why do we start from 2 */
   for (i=2; i <= base; i++)
   {
      if (j % i == 0)
      {   
         p = 0;  /* What is p? */
         while (j % i== 0)
         {
            p++;
            j /= i;
         }
         c = 0;
         k = n;
         /* What is the maths behind this while loop? */
         while (k/i > 0)
         {
            c += k/i;
            k /= i;
         }
         noz = min(noz, c/p);
      }
   }
   printf("%d! has %d trailing zeros\n", n, noz);

   return 0;
}

Answer 1

请注意，该问题等同于找到 base 的最高幂，它可以整除 n!。

如果基数是素数(我们称之为p)，我们可以使用theorem from number theory计算除以 n! 的 p 的最高次幂:

让我们将执行此操作的代码部分提取到一个函数中:

int maximum_power_of_p_in_fac(int p, int n) {
    int mu = 0;
    while (n/p > 0) {
        mu += n/p;
        n /= p;
    }
    return mu;
}

现在如果 base 是素数会怎样？假设我们有 base = p^q。那么如果 μ 是 p 的最高次幂，它将 n! 和 r = floor(μ/q) , 我们有

(p^q)^r = p^(qr) divides p^μ divides n!

和

(p^q)^(r+1) = p^(q(r+1)) >= p^(μ+1) does not divide n!

所以 r 是 n! 中 p^q 的最大幂。让我们也为此编写一个函数:

int maximum_power_of_pq_in_fac(int p, int q, int n) {
    return maximum_power_of_p_in_fac(p, n) / q;
}

如果 base 是一般数字呢？假设

base = p₁^q₁ p₂^q₂ ... p_m^q_m

(这是 base 的唯一质因数分解)。然后我们只解决所有 p_i^q_i 的问题，并取其中的最小值:

int maximum_power_of_base_in_fac(int base, int n) {
    int res = infinity;
    for every factor p^q in the prime factorization in base:
       res = min(res, maximum_power_of_pq_in_fac(p,q,n));
    return res;
}

如何分解基数？好吧，我们可以像您的示例代码一样使用试验除法。我们首先检查 2 是否是质因数。如果是，我们计算 maximum_power_of_pq_in_fac 并将 base 除以 2，直到它不能再被 2 整除。然后我们继续下一个候选因子:

void factorize(int base) {
    for (int p = 2; p <= base; ++p) {
        if (base % p == 0) { // if base is divisible by p, p is a prime factor
            int q = 0;
            while (base % p == 0) { // compute q and get rid of all the p factors
                q++;
                base /= p;
            }
            // do something with factor p^q
        }
        // proceed with next candidate divisor
    }
}

仔细检查代码，您会发现它包含了上述所有元素，只是放在一个循环中，这有点令人困惑。

更新:如果您有兴趣，您提供的算法具有复杂性 O(base * log n)。通过稍微调整质因数分解例程，您可以轻松地使其O(sqrt(base) * log n):

void factorize(int base) {
    for (int p = 2; p*p <= base; ++p) { // only check prime factors up to sqrt(base)
        // ... same as before
    }
    if (base) {
        // there is exactly one prime factor > sqrt(base). 
        // It certainly has multiplicity 1.

        // process prime factor base^1
    }   
}

当然，如果您想进一步加快速度，您可以使用任何其他更复杂的质因数分解算法。