c - 哪种计算 nCr 的方法更好

Question

方法一:
C(n,r) = n!/(n-r)!r!

方法二:
在书Combinatorial Algorithms by wilf ，我发现了这个:
C(n,r) 可以写成C(n-1,r) + C(n-1,r-1)。

例如

C(7,4) = C(6,4) + C(6,3) 
       = C(5,4) + C(5,3) + C(5,3) + C(5,2)
       .   .
       .   .
       .   .
       .   .
       After solving
       = C(4,4) + C(4,1) + 3*C(3,3) + 3*C(3,1) + 6*C(2,1) + 6*C(2,2)

如您所见，最终的解决方案不需要任何乘法。在每个形式 C(n,r) 中，n==r 或 r==1。

这是我实现的示例代码:

int foo(int n,int r)
{
     if(n==r) return 1;
     if(r==1) return n;
     return foo(n-1,r) + foo(n-1,r-1);
}

参见 output在这里。

在方法 2 中，存在重叠的子问题，我们调用递归再次解决相同的子问题。我们可以使用 Dynamic Programming 来避免它.

我想知道哪种计算 C(n,r) 的方法更好？。

Answer 1

这两种方法都会节省时间，但第一种很容易出现 integer overflow .

方法一:

这种方法将在最短的时间内生成结果(最多 n/2 次迭代)，并且可以通过小心地进行乘法来减少溢出的可能性:

long long C(int n, int r) {
    if(r > n - r) r = n - r; // because C(n, r) == C(n, n - r)
    long long ans = 1;
    int i;

    for(i = 1; i <= r; i++) {
        ans *= n - r + i;
        ans /= i;
    }

    return ans;
}

此代码将从较小的一端开始计算分子的乘法，并且由于任何 k 连续整数的乘积可以被 k! 整除，因此不会被整除问题。但是溢出的可能性仍然存在，另一个有用的技巧可能是在进行乘法和除法(和 仍然可能会发生溢出)。

方法 2:

在这种方法中，您实际上是在构建 Pascal's Triangle .动态方法比递归方法快得多(第一个是 O(n^2) 而另一个是指数)。但是，您还需要使用 O(n^2) 内存。

# define MAX 100 // assuming we need first 100 rows
long long triangle[MAX + 1][MAX + 1];

void makeTriangle() {
    int i, j;

    // initialize the first row
    triangle[0][0] = 1; // C(0, 0) = 1

    for(i = 1; i < MAX; i++) {
        triangle[i][0] = 1; // C(i, 0) = 1
        for(j = 1; j <= i; j++) {
            triangle[i][j] = triangle[i - 1][j - 1] + triangle[i - 1][j];
        }
    }
}

long long C(int n, int r) {
    return triangle[n][r];
}

然后你可以在 O(1) 时间内查找任何 C(n, r)。

如果您需要特定的C(n, r)(即不需要整个三角形)，那么内存消耗可以O(n)从上到下覆盖三角形的同一行。

# define MAX 100
long long row[MAX + 1];

int C(int n, int r) {
    int i, j;

    // initialize by the first row
    row[0] = 1; // this is the value of C(0, 0)

    for(i = 1; i <= n; i++) {
        for(j = i; j > 0; j--) {
             // from the recurrence C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)
             row[j] += row[j - 1];
        }
    }

    return row[r];
}

内层循环从末尾开始，简化计算。如果您从索引 0 开始，您将需要另一个变量来存储被覆盖的值。