使用麦克劳林级数近似计算 cos(x)

Question

因此，我正在尝试创建一个使用泰勒近似计算 cos(x) 的程序。

程序非常简单:用户输入一个参数 x(x 是以弧度为单位的角度)和一个 float ε，它是 cos(x) 值的精度。

基本上，程序唯一要做的就是计算这个总和:x^0/0! - x^2/2! + x^4/4! - x^6! + x^8/8! - ...，直到项小于 ε，即 cos(x) 的值将在我们的精度范围内。

所以，这是代码:

#include <stdio.h>

/* Calculates cos(x) by using a Taylor approximation:
   cos(x) = x^0/(0!) - x^2/(2!) + x^4/(4!) - x^6/(6!) + x^8/(8!) - ... */

int main(void)
{    
    int   k;         // dummy variable k

    float x,         // parameter of cos(x), in radians
          epsilon;   // precision of cos(x) (cos = sum ± epsilon)
          sum,       // sum of the terms of the polynomial series
          term;      // variable that stores each term of the summation

    scanf("%f %f", &x, &epsilon);

    sum = term = 1, k = 0;

    while (term >= epsilon && -term <= epsilon) 
    // while abs(term) is smaller than epsilon
    {
        k += 2;
        term *= -(x*x)/(k*(k-1));
        sum += term;
    }

    printf("cos(%f) = %f\n", x, sum);

    return 0;
}

起初，我试图通过计算单独变量“fact”的阶乘来解决它，尽管这会导致溢出，即使 ε 的值相当大也是如此。

为了解决这个问题，我注意到我可以将前一项乘以 -x²/(k(k - 1))，在每次迭代中将 k 增加 2，以获得下一项。我以为这会解决我的问题，但话又说回来，它不起作用。

程序编译正常，但例如，如果我输入:

3.141593 0.001

输出是:

cos(3.141593) = -3.934803

...这显然是错误的。有人可以帮助我吗？

Answer 1

错误在于你的 while 循环的条件:

while (term >= epsilon && -term <= epsilon)

这不是正确的条件。虽然可以通过修复逻辑来修复它:

while (term >= epsilon || -term >= epsilon)

您应该只使用标准的浮点 abs 函数，fabs，因为它使您的代码的功能更加明显:

while (fabs(term) >= epsilon)

应用该更改并编译您的程序后，我用它来计算 cos(3.141593) = -1.000004，这是正确的。