c - Regula-Falsi 算法？

Question

我正在尝试实现 Regula-Falsi 算法来求解 2(x^3)-x-2 的方程但问题是变量 c 值保持不变并且没有改变，即使我的代码应该改变它。

#include<math.h>
#include<stdio.h>


float fonc(float x)
{
    int result;
    result=2*(pow(x,3))-x-2;
    return result;
}

int main(void)
{
    float eps=pow(10,-4);
    int i=0;
    float a,b,c;
    a=1;
    b=2;
    do
    {
        c=((a*fonc(b))-(b*fonc(a)))/((fonc(b)-fonc(a)));
        if(fonc(c)*fonc(a)<0)
        {
            b=c;
        }
        else
        {
            a=c;
        }
        i++;    
        printf("\n%f",c);
    }
    while(fabs(b-c)>eps);

    printf("le nombre d'itération %d",i);
}

Answer 1

即使所有数据类型都是合适的，所呈现的算法会出现什么问题？

与二分法相比，纯正则 falsi 不会强制区间长度变为零。如果使用单调凸函数，则迭代将停滞在仅改变具有几何收敛的区间的一侧。任何足够平滑的函数最终都会在剩余的包围间隔内具有这些属性。

要正确捕获此行为，应在计算后立即将中点 c 与区间两端的 a、b 进行比较。作为奖励，检查 c 处的值是否足够小，如果为真，则无论距离区间末端有多远，也中断迭代。

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有许多简单的技巧可以强制间隔长度为零。复杂的技巧导致了布伦特的方法。简单的技巧之一是伊利诺斯变体。在这些变体中，中点被认为是凸和

    c = |f(b)|/(|f(a)|+|f(b)|) * a + |f(a)|/(|f(a)|+|f(b)|) * b

因为f(a)和f(b)的符号相反，所以这和原来的公式是等价的。如果边 b 没有改变，它在这个凸和中的重要性通过减小函数值 f(b) 来增加，即将它乘以额外的权重因子。这会将中点 c 移向 b，这将在非常少的步骤中找到将替换 b 的中点。

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以下是伊利诺斯变体的 regula falsi(或假位置方法)的实现。该算法在 6 次迭代中找到函数值为 2.2e-6 且封闭区间长度为 6e-7 的解。

#include<math.h>
#include<stdio.h>


float fonc(float x)
{
   return (2*x*x-1)*x-2;
}

int main(void)
{
    float eps=1e-6;
    int i=0;
    float a=1, fa = fonc(a);
    float  b=2, fb = fonc(b);
    
    printf("\na=%10.7f b=%10.7f  fa=%10.7f  fb=%10.7f\n------\n",a,b, fa,fb);
    
    if(signbit(fb)==signbit(fa)) {
        printf("Attention, les valeurs initiales de 'fonc' n'ont pas de signe opposeés!\n");
        
    }
    do
    {
        float c=(a*fb-b*fa)/(fb-fa), fc = fonc(c);
        
        if( signbit(fc)!=signbit(fa) )
        {
            b=a; fb=fa;
        }
        else
        {
            fb *= 0.5;
        }
        a=c; fa=fc;
        i++;  
        printf("\na=c=%10.7f b=%10.7f  fa=fc=%10.7f  fb=%10.7f",c,b, fc,fb);
        
        if(fabs(fc)<eps) break;
    }
    while(fabs(b-a)>eps);

    printf("\nle nombre d'itération %d\n",i);
    
    return 0;
}

输出是

     a= 1.0000000 b= 2.0000000  fa=-1.0000000  fb=12.0000000
     ------
     
     a=c= 1.0769231 b= 2.0000000  fa=fc=-0.5789710  fb= 6.0000000
     a=c= 1.1581569 b= 2.0000000  fa=fc=-0.0512219  fb= 3.0000000
     a=c= 1.1722891 b= 1.1581569  fa=fc= 0.0497752  fb=-0.0512219
     a=c= 1.1653242 b= 1.1722891  fa=fc=-0.0003491  fb= 0.0497752
     a=c= 1.1653727 b= 1.1722891  fa=fc=-0.0000022  fb= 0.0248876
     a=c= 1.1653733 b= 1.1653727  fa=fc= 0.0000020  fb=-0.0000022
     le nombre d'itération 6