python - NumPy:为什么 np.linalg.eig 和 np.linalg.svd 给出不同的 SVD V 值？

Question

我在学习SVD通过关注这个 MIT course .

矩阵构造为

C = np.matrix([[5,5],[-1,7]])
C
matrix([[ 5,  5],
        [-1,  7]])

讲师给出V作为

这很接近

w, v = np.linalg.eig(C.T*C)
matrix([[-0.9486833 , -0.31622777],
        [ 0.31622777, -0.9486833 ]])

但是 np.linalg.svd(C) 给出了不同的输出

u, s, vh = np.linalg.svd(C)
vh
matrix([[ 0.31622777,  0.9486833 ],
        [ 0.9486833 , -0.31622777]])

好像vh交换了V向量中的元素，可以接受吗？

我做的和理解的是否正确？

Answer 1

对于 linalg.eig，您的特征值存储在 w 中。它们是:

>>> w
array([20., 80.])

对于奇异值分解，您可以通过对奇异值求平方来获得特征值(C 是可逆的，所以这里的一切都很简单):

>>> s**2
array([80., 20.])

如您所见，他们的订单被翻转了。

来自linalg.eig文档:

The eigenvalues are not necessarily ordered

来自linalg.svd文档:

Vector(s) with the singular values, within each vector sorted in descending order. ...

在给您特征值和特征向量的一般例程中，不一定按照您可能想要的方式对它们进行“排序”。因此，确保您拥有所需特征值的特征向量始终很重要。如果您需要对它们进行排序(例如，按特征值大小)，您可以随时自己进行排序(参见此处:sort eigenvalues and associated eigenvectors after using numpy.linalg.eig in python)。

最后请注意，vh 中的行包含特征向量，而在v 中是列。

这意味着例如:

>>> v[:,0].flatten()
matrix([[-0.9486833 ,  0.31622777]])
>>> vh[1].flatten()
matrix([[ 0.9486833 , -0.31622777]])

为您提供特征值 20 的特征向量。