python - 二维 PCA 线拟合与 numpy

Question

我正在尝试使用 numpy 实现 2D PCA。代码相当简单:

import numpy as np

n=10
d=10
x=np.linspace(0,10,n)
y=x*d

covmat = np.cov([x,y])
print(covmat)

eig_values, eig_vecs = np.linalg.eig(covmat)
largest_index = np.argmax(eig_values)
largest_eig_vec = eig_vecs[largest_index]

协方差矩阵为:

[[   11.31687243   113.16872428]
 [  113.16872428  1131.6872428 ]]

然后我得到了一个简单的辅助方法，可以在给定中心周围沿给定方向绘制一条线(作为一系列点)。这意味着由 pyplot 使用，因此我正在为 x 和 y 坐标准备单独的列表。

def plot_line(center, dir, num_steps, step_size):
    line_x = []
    line_y = []
    for i in range(num_steps):
        dist_from_center = step_size * (i - num_steps / 2)
        point_on_line = center + dist_from_center * dir
        line_x.append(point_on_line[0])
        line_y.append(point_on_line[1])
    return (line_x, line_y)

最后是情节设置:

lines = []
mean_point=np.array([np.mean(x),np.mean(y)])
lines.append(plot_line(mean_point, largest_eig_vec, 200, 0.5))

import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)

ax.scatter(x,y, c="b", marker=".", s=10
           )
for line in lines:
    ax.plot(line[0], line[1], c="r")

ax.scatter(mean_point[0], mean_point[1], c="y", marker="o", s=20)

plt.axes().set_aspect('equal', 'datalim')
plt.show()

不幸的是，PCA 似乎不起作用。这是情节:

恐怕我不知道出了什么问题。

• 我手动计算了协方差 -> 相同的结果。
• 我检查了另一个特征值 -> 垂直于红线。
• 我已经用方向 (1,10) 测试了 plot_line。它完全符合我的观点:

最后的图显示 pca 拟合的线是正确的结果，只是它在 y 轴上镜像。

事实上，如果我改变特征向量的 x 坐标，直线就完美拟合了:

显然这是一个基本问题。不知何故，我误解了如何使用 pca。

我的错误在哪里？在线资源似乎完全按照我实现的方式描述了 PCA。我不相信我必须在 y 轴上明确地反射(reflect)我的线拟合。它必须是别的东西。

Answer 1

您的错误是您正在提取特征向量数组的最后行。但是特征向量构成了 np.linalg.eig 返回的特征向量数组的列，而不是行。来自documentation :

[...] the arrays a, w, and v satisfy the equations dot(a[:,:], v[:,i]) = w[i] * v[:,i] [for each i]

其中 a 是应用了 np.linalg.eig 的数组，w 是一维特征值数组，v 是特征向量的二维数组。所以 v[:, i] 列是特征向量。

在这种简单的二维情况下，由于两个特征向量相互正交(因为我们从对称矩阵开始)和单位长度(因为 np.linalg.eig 以这种方式对它们进行归一化), 特征向量数组具有以下两种形式之一

[[ cos(t)  sin(t)]
 [-sin(t)  cos(t)]]

或

[[ cos(t)  sin(t)]
 [ sin(t) -cos(t)]]

对于一些实数 t，在第一种情况下，读取第一行(例如)而不是第一列将得到 [cos(t), sin(t) ] 代替 [cos(t), -sin(t)]。这解释了您看到的明显反射。

替换行

largest_eig_vec = eig_vecs[largest_index]

与

largest_eig_vec = eig_vecs[:, largest_index]

您应该会得到预期的结果。