python - python中的最小二乘法？

Question

我有这些值(value)观:

T_values = (222, 284, 308.5, 333, 358, 411, 477, 518, 880, 1080, 1259) (x values)

C/(3Nk)_values = (0.1282, 0.2308, 0.2650, 0.3120 , 0.3547, 0.4530, 0.5556, 0.6154, 0.8932, 0.9103, 0.9316) (y values)

我知道他们遵循以下模型:

C/(3Nk)=(h*w/(k*T))**2*(exp(h*w/(k*T)))/(exp(h*w/(k*T)-1))**2

我也知道 k=1.38*10**(-23) 和 h=6.626*10**(-34)。我必须找到最能描述测量数据的 w。我想在 python 中使用最小二乘法来解决这个问题，但是我真的不明白它是如何工作的。谁能帮帮我？

Answer 1

此答案提供了使用 Python 确定一般指数模式的拟合参数的演练。另请参阅 linearization techniques 上的相关帖子并使用 lmfit图书馆。

数据清洗

首先，让我们将采样数据输入并组织为 numpy 数组，这将有助于稍后的计算和清晰度。

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.optimize as opt
import numpy as np


#% matplotlib inline

# DATA ------------------------------------------------------------------------
T_values = np.array([222, 284, 308.5, 333, 358, 411, 477, 518, 880, 1080, 1259])
C_values = np.array([0.1282, 0.2308, 0.2650, 0.3120 , 0.3547, 0.4530, 0.5556, 0.6154, 0.8932, 0.9103, 0.9316])

x_samp = T_values
y_samp = C_values    

有很多curve fitting scipy 和 numpy 中的函数，每个函数的用法不同，例如scipy.optimize.leastsq和 scipy.optimize.least_squares .为简单起见，我们将使用 scipy.optimize.curve_fit ，但如果不选择合理的起始参数，很难找到优化的回归曲线。稍后将在选择起始参数时演示一种简单的技术。

回顾

首先，尽管 OP 提供了预期的拟合方程，但我们将通过回顾指数函数的一般方程来解决使用 Python 进行曲线拟合的问题:

现在我们构建这个通用函数，它会被使用几次:

# GENERAL EQUATION ------------------------------------------------------------
def func(x, A, c, d):
    return A*np.exp(c*x) + d

趋势

• 振幅:小的A给出小的振幅
• shape:一个小的c通过压平曲线的“拐点”来控制形状
• position:d 设置 y 截距
• orientation:负 A 在水平轴上翻转曲线；负的 c 翻转垂直轴上的曲线

后者的趋势如下图所示，突出显示了对照(黑线)与具有不同参数的线(红线):

选择初始参数

使用后一种趋势，让我们接下来查看数据并尝试通过调整这些参数来模拟曲线。为了演示，我们根据数据绘制了几个试验方程:

# SURVEY ----------------------------------------------------------------------
# Plotting Sampling Data
plt.plot(x_samp, y_samp, "ko", label="Data")

x_lin = np.linspace(0, x_samp.max(), 50)                   # a number line, 50 evenly spaced digits between 0 and max

# Trials
A, c, d = -1, -1e-2, 1
y_trial1 = func(x_lin,  A,     c, d)
y_trial2 = func(x_lin, -1, -1e-3, 1)
y_trial3 = func(x_lin, -1, -3e-3, 1)

plt.plot(x_lin, y_trial1, "--", label="Trial 1")
plt.plot(x_lin, y_trial2, "--", label="Trial 2")
plt.plot(x_lin, y_trial3, "--", label="Trial 3")
plt.legend()

通过简单的试错，我们可以更好地近似曲线的形状、幅度、位置和方向。例如，我们知道前两个参数(A 和 c)必须为负数。我们对 c 的数量级也有一个合理的猜测。

计算估计参数

我们现在将使用最佳试验的参数进行初始猜测:

# REGRESSION ------------------------------------------------------------------
p0 = [-1, -3e-3, 1]                                        # guessed params
w, _ = opt.curve_fit(func, x_samp, y_samp, p0=p0)     
print("Estimated Parameters", w)  

# Model
y_model = func(x_lin, *w)

# PLOT ------------------------------------------------------------------------
# Visualize data and fitted curves
plt.plot(x_samp, y_samp, "ko", label="Data")
plt.plot(x_lin, y_model, "k--", label="Fit")
plt.title("Least squares regression")
plt.legend(loc="upper left")

# Estimated Parameters [-1.66301087 -0.0026884   1.00995394]

这是如何运作的？

curve_fit 是众多 optimization functions 之一由 scipy 提供。给定一个初始值，得到的估计参数被迭代地细化，使得得到的曲线最小化残差，或拟合线和采样数据之间的差异。更好的猜测减少了迭代次数并加快了结果的速度。有了这些拟合曲线的估计参数，现在可以计算特定方程的特定系数(留给 OP 的最后练习)。