python - (numpy) FFT 阵列的幅度错误(？)？

Question

我正在使用 numpy 和 matplotlib 来分析我的模拟的数据输出。有一个(明显的)不一致，我找不到根源。内容如下:

我有一个具有给定能量 a^2~1 的信号。当我使用 rfft 进行 FFT 并计算傅立叶空间中的能量时，结果明显更大。为了避免提供我的数据等细节，这里有一个简单的正弦波示例:

from pylab import *
xx=np.linspace(0.,2*pi,128)
a=np.zeros(128)
for i in range(0,128):
    a[i]=sin(xx[i])
aft=rfft(a)
print mean(abs(aft)**2),mean(a**2) 

原则上这两个数字应该相同(至少在数字意义上)但这是我从这段代码中得到的:

62.523081632 0.49609375

我试图浏览 numpy.fft 文档，但找不到任何东西。在这里搜索给出了以下内容，但我无法理解那里的解释:

Big FFT amplitude difference between the existing (synthesized) signal and the filtered signal

我错过了什么/误解了什么？在这方面的任何帮助/指示将不胜感激。

谢谢!

Answer 1

Henry 在非规范化部分是正确的，但还有更多内容，因为您使用的是 rfft，而不是 fft。以下与他的回答一致:

>>> x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 128)
>>> y = 1 - np.sin(x)
>>> fft = np.fft.fft(y)
>>> np.mean((fft * fft.conj()).real)
191.49999999999991
>>> np.mean(y**2)
1.4960937500000004
>>> fft = fft / np.sqrt(len(fft))
>>> np.mean((fft * fft.conj()).real)
1.4960937499999991

但是如果你现在用 rfft 做同样的尝试，事情就不太顺利了:

>>> rfft = np.fft.rfft(y)
>>> np.mean((rfft * rfft.conj()).real)
314.58462009358772
>>> rfft /= np.sqrt(len(rfft))
>>> np.mean((rfft * rfft.conj()).real)
4.8397633860551954
65
>>> np.mean((rfft * rfft.conj()).real) / len(rfft)
4.8397633860551954

不过，以下内容确实可以正常工作:

>>> (rfft[0] * rfft[0].conj() +
...  2 * np.sum(rfft[1:] * rfft[1:].conj())).real / len(y)
1.4960937873636722

当您使用 rfft 时，您得到的并不是数据的正确 DFT，而是它的正半部分，因为负半部分与它对称。要计算均值，您需要将 DC 分量以外的每个值都考虑两次，这是最后一行代码所做的。